摘要:在實際的測試中,算法的運行效率也比算法高左右。此外,該算法與求無向圖的雙連通分量割點橋的算法也有著很深的聯(lián)系。學習該算法,也有助于深入理解求雙連通分量的算法,兩者可以類比組合理解。固屬于同一連通分支。
參考資料
http://blog.csdn.net/acmmmm/a...
https://www.byvoid.com/blog/s...
http://blog.csdn.net/nothi/ar...
在教材中有向圖的強連通只提及了一種,其實還有另外兩個經(jīng)典的算法,因此做一個補充。
Tarjan算法 思路提點
tarjan的過程就是dfs過程
對圖dfs一下,遍歷所有未遍歷過的點 ,會得到一個有向樹,顯然有向樹是沒有環(huán)的。
(注意搜過的點不會再搜) 則能產(chǎn)生環(huán)的只有 指向已經(jīng)遍歷過的點 的邊
只有紅色與綠色邊有可能產(chǎn)生環(huán)。
對于深搜過程,我們需要一個棧來保存當前所在路徑上的所有點(棧中所有點一定是有父子關系的)
再仔細觀察紅邊與綠邊,首先得到結論:紅邊不產(chǎn)生環(huán),綠邊產(chǎn)生環(huán)
對于紅邊,連接的兩個點3、7沒有父子關系,這種邊稱為橫叉邊。
橫叉邊一定不產(chǎn)生環(huán)。
對于綠邊,連接的兩個點6、4是父子關系,這種邊稱為后向邊。
環(huán)一定由后向邊產(chǎn)生。
圖中除了黑色的樹枝邊,一定只有橫叉邊和后向邊(不存在其他種類的邊)
則以下考慮對于這兩種邊的處理和判斷:
Stack = {1,2,3}。3沒有多余的其他邊,因此3退棧,把3作為一個強連通分量
再次深搜:
此時棧 Stack = {1,2,7}
發(fā)現(xiàn)紅邊指向了已經(jīng)遍歷過的點3 => 是上述的2種邊之一
而3不在棧中
=> 3點與7點無父子關系
=> 該邊為橫叉邊
=> 采取無視法。
繼而7點退棧 產(chǎn)生連通分量{7}
繼而2點退棧 產(chǎn)生連通分量{2}
再次深搜:
此時 Stack = {1,4,5,6}
發(fā)現(xiàn)綠邊指向了已經(jīng)遍歷過的點4 => 是上述的2種邊之一
而4在棧中
=> 4點與6點是父子關系
=> 該邊為后向邊
=> 4->6的路徑上的點都是環(huán)。
實際情況可能更復雜:
出現(xiàn)了大環(huán)套小環(huán)的情況,顯然我們認為最大環(huán)是一個強連通分量(即:{4,5,6,8} )
因而我們需要強化一下dfs過程,增添幾個變量來記錄父節(jié)點和后向邊的情況
定義:
int dfn[N], low[N];
dfn[i] 表示 遍歷到 i 點時是第幾次dfs (有時也叫時間戳)
low[u] 表示 u 的子樹 能連接到 [棧中] 最上端的點 的dfn值(換句話說,也就是最小的dfn)
Stack stack 上述的棧
int BelongTo[N] 強連通分量的ID
通俗語言解讀:
dfn[i] 即我就是我,是數(shù)字不一樣的煙火。每個點的ID(不是強連通分量的ID,而是每個點自己的身份標識ID),按時間順序賦值。比如第一個尋訪的dfn的值為 1,第二個尋訪的DFN的值為 2,以此類推。可以通過比較大小來判斷是爸爸還是兒子。(是后向邊還是橫插邊?)
low[u] 如果是后向邊的話連到哪個爸爸?記錄下來爸爸的ID。
Stack 怎么判斷是不是后向邊呢?—>看在不在棧內。
Tarjan算法和偽代碼Tarjan算法是基于對圖深度優(yōu)先搜索的算法,每個強連通分量為搜索樹中的一棵子樹。
搜索時,把當前搜索樹中未處理的節(jié)點加入一個堆棧,回溯時可以判斷棧頂?shù)綏V械墓?jié)點是否為一個強連通分量。
定義dfn(u)為節(jié)點u搜索的次序編號(時間戳);
Low(u)為u或u的子樹能夠追溯到的最早的棧中節(jié)點的次序號。
由定義可以得出,
low(u)=min { dfn(u), low(v),(u,v)為樹枝邊,u為v的父節(jié)點 //回溯時用 dfn(v),(u,v)為指向棧中節(jié)點的后向邊(非橫叉邊) // 已訪問過時用。沒有想明白為什么是dfn(v)而不是low(v)????????? }
當dfn(u)==low(u)時,以u為根的搜索子樹上所有節(jié)點是一個強連通分量。
原因
在算法開始的時候,我們把 i 圧入棧中。根據(jù) low[i] 和 dfn[i] 的定義我們知道,
如果 low[i] < dfn[i],則以 i 為頂點的子樹中,有指向祖先的后向邊,則說明 i 和 i 的父親為在同一連通分支,也就是說留在棧中的元素都是和父結點在同一連通分支的。
如果 low[i] == dfn[i],則 i 為頂點的子樹中沒有后向邊,那么由于 留在棧中的元素都是和父結點在同一連通分支的,我們可以知道,從棧頂?shù)皆?i 構成了一個連通分支。顯然,low[i]不可能小于dfn[i]
算法偽代碼如下
tarjan(u) { dfn[u]=low[u]=++index // 為節(jié)點u設定次序編號和low初值 stack.push(u) // 將節(jié)點u壓入棧中 for each (u, v) in E // 枚舉每一條邊 if (v is not visted) // 如果節(jié)點v未被訪問過 tarjan(v) // 繼續(xù)向下找 Low[u] = min(low[u], low[v]) else if (v in stack) // 如果節(jié)點v還在棧內 Low[u] = min(low[u], dfn[v]) if (dfn[u] == low[u]) // 如果節(jié)點u是強連通分量的根 repeat v = stack.pop // 將v退棧,為該強連通分量中一個頂點 print v until (u== v) }Tarjan JAVA代碼
復雜度
時間:O(N+M)
與Trajan算法相比,Kosaraju算法可能會稍微更直觀一些。但是Tarjan只用對原圖進行一次DFS,不用建立逆圖,更簡潔。在實際的測試中,Tarjan算法的運行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,該Tarjan算法與求無向圖的雙連通分量(割點、橋)的Tarjan算法也有著很深的聯(lián)系。學習該Tarjan算法,也有助于深入理解求雙連通分量的Tarjan算法,兩者可以類比、組合理解。
public class Tarjan { private int[] id; // 強連通ID private int index_id = 0; // 強連通ID計數(shù)器 private int[] dfn, low; //時間戳計數(shù)器 private int index_dfn = 1; //時間戳初始化時默認為0。因此從1開始賦值,以區(qū)別是否訪問過。 private Stackstack= new Stack (); private boolean[] onStack; public Tarjan(Digraph G) { onStack = new boolean[G.V()]; id = new int[G.V()]; dfn = new int[G.V()]; low = new int[G.V()]; for (int s = 0; s < G.V(); s++) if (dfn[s]==0) { tarjan(G, s); index_id++; } } private void tarjan(Digraph G, int u) { stack.push(u); //壓入棧 onStack[u] = true; //方便之后判斷 dfn[u] = low[u] = ++index_dfn; //時間戳賦值,并表示訪問過了 for (int w : G.adj(u)) { if (dfn[w] == 0) { //若w未被訪問過 tarjan(G, w); //繼續(xù)深搜 low[u] = Math.min(low[w], low[u]); //回溯,當前點u 選取包括自己的子樹中最小的low值 } else if (onStack[w] && dfn[w] 簡單證明 首先,這邊再重復一下什么是后向邊:就是在深度優(yōu)先搜索中,子孫指向祖先的邊。
在一棵深度優(yōu)先搜索樹中,對于結點v, 和其父親結點u而言,u,v 屬于同一個強連通分支的充分必要條件是
以v為根的子樹中,有一條后向邊指向u或者u的祖先。1、必要性
如果 u, v 屬于同一個強連通分支則必定存在一條 u -> v 的路徑和一條 v -> u的路徑。
合并兩條則有 u->v->v1->v2->..vn->u, 若頂點v1到vn都是v 的子孫,則有 vn->u這樣一條后向邊。
如果v1到vn 不全是vn的子孫,則必定有一個是u的祖先,我們不妨設vi為u的祖先,則有一條后向邊 V[i-1] ->v[i]。2、充分性
我們設 u1->u2->u3..->un->u->v->v1->v2..->vn。
我們假設后向邊vn指向ui則有這樣一個環(huán):u[i]->u[i+1]...->u->v->v1->v2..->v[n-1]->v[n]->u[i]。
易知,有一條u->v的路徑,同時有v->u的路徑。固u,v屬于同一連通分支。
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