摘要：的符號運算如果之前是學數學相關專業了解計算機代數系統，就會對數學符號的運算比較熟悉，而如果之前是程序員，可能會有點不太明白，下面我們就來了解一下。

在我們初、高中和大學近10年的學習時間里，數學一直占據著非常大的分量，但是回憶過去可以發現，我們把大量的時間都花在反復解題、不斷運算上，計算方法、運算技巧、筆算能力以及數學公式的記憶仿佛成了我們學習數學的全部。這些記憶和技巧沒幾年就忘掉了，但很多人甚至還記得那份陰影；筆算與解題在AI、圖形圖像、數據分析等上被軟件所取代。那我們學生時代的數學還剩下什么呢？

說起數學計算器，我們常見的是加減乘除四則運算，有了它，我們就可以擺脫筆算和心算的痛苦。四位數以上的加減乘除在數學的原理上其實并不難，但是如果不借助于計算器，光依賴我們的運算能力（筆算和心算），不僅運算的準確度大打折扣，而且還會讓我們對數學的運用停留在一個非常淺的層次。

盡管四則運算如此簡單，但是多位數運算的心算卻在我們生活中被歸為天才般的能力。但是數學的應用應該生活化、普及化，而不是只屬于天才的專利，計算器改變了這一切，這就是計算器的魅力。
計算器還可以做科學運算，比如乘方、開方、指數、對數、三角函數等，盡管這些知識在我們初中時代，通過紙筆也是能運算起來的，但是也僅限于一些極其常用和簡單的運算，一旦復雜起來，通過紙筆來運算就是一項復雜的工程了。所以說，計算器可以讓我們離數學的應用更近。

但是我們學生時代所學的數學可遠不止這些，尤其是高等數學（微積分）、線性代數、概率統計等數學知識應用非常廣泛（我也是后來才知道），但是由于他們的運算非常復雜，我們即便掌握了這些知識，想要應用它又談何容易，那有沒有微積分、線性代數、概率統計等的計算器呢？

答案是有的，它們就是計算機代數系統Computer Algebra System，簡稱CAS，Python的Sympy庫也支持帶有數學符號的微積分、線性代數等進行運算。

有了計算器，我們才能真正脫離數學復雜的解題本身，把精力花在對數學原理和應用的學習上，而這才是（在工作方面）數學學習的意義。

Sympy可以實現數學符號的運算，用它來進行數學表達式的符號推導和驗算，處理帶有數學符號的導數、極限、微積分、方程組、矩陣等，就像科學計算器一樣簡單，類似于計算機代數系統CAS，雖然CAS通常是可視化軟件，但是維基百科上也把Sympy歸為CAS。

幾大知名的數學軟件比如Mathematica、Maxima、Matlab(需Symbolic Math Toolbox)、Maple等都可以做符號運算，在上篇文章中我們已經拿Python和R、Matlab對比了，顯然Python在指定場景下確實優勢非常明顯，于是我又調研了一下Sympy與Mathematica的比較，在輸入公式以及生成圖表方面，Sympy確實不行（這一點Python有其他庫來彌補），Mathematica能夠做什么，Sympy基本也能做什么。

所以說Python在專業數學（數學、數據科學等）領域，由于其擁有非常多而且強大的第三方庫，構成了一個極其完善的生態鏈，即使是面對世界上最為強勢最為硬核的軟件也是絲毫不虛的。

本專欄用Python學數學的下一期也會介紹一些非常實用的數學工具和數學教材資源，讓數學的學習更簡單更生動。

如果之前是學數學相關專業了解計算機代數系統CAS，就會對數學符號的運算比較熟悉，而如果之前是程序員，可能會有點不太明白，下面我們就來了解一下。

Sympy與Math函數的區別

我們先來看一下Sympy庫和Python內置的Math函數對數值計算的處理有什么不同。為了讓代碼可執行，下面的代碼都是基于Python3的完整代碼。

import sympy,math
print(math.sqrt(8))
print(sympy.sqrt(8))

執行之后，結果顯示為：

2.8284271247461903
2*sqrt(2)

math模塊是直接求解出一個浮點值，而Sympy則是用數學符號表示出結果，結合LaTex的語法就可以得出我們在課本里最熟悉的的：$2sqrt{2}$。

數學符號與表達式

我們要對數學方程組、微積分等進行運算時，就會遇到變量比如x,y,z,f等的問題，也會遇到求導、積分等代數符號表達式，而Sympy就可以保留變量，計算有代數符號的表達式的。

from sympy import *
x = Symbol("x")
y = Symbol("y")
k, m, n = symbols("k m n")
print(3*x+y**3)

輸出的結果為：3*x + y**3，轉化為LaTex表示法之后結果為$3x+y^3$，輸出的結果就帶有x和y變量。Symbol()函數定義單個數學符號；symbols()函數定義多個數學符號。

折疊與展開表達式

factor()函數可以折疊表達式，而expand()函數可以展開表達式，比如表達式：$x^4+xy+8x$，折疊之后應該是$x(x^3+y+8)$。我們來看具體的代碼：

from sympy import *
x,y = symbols("x y")
expr=x**4+x*y+8*x
f_expr=factor(expr)
e_expr=expand(f_expr)
print(f_expr)
print(e_expr)

表達式的折疊與展開，對應的數學知識就是因式分解，相關的數學知識在人教版初二的教程里。用Python學習數學專欄的目的就是要Python與初高中、大學的數學學習結合起來，讓數學變得更加簡單生動。

表達式化簡

simplify()函數可以對表達式進行化簡。有一些表達式看起來會比較復雜，就拿人教版初二上的一道多項式的乘法為例，簡化$(2x)^3(-5xy^2)$。

from sympy import *
x,y = symbols("x y")
expr=(2*x)**3*(-5*x*y**2)
s_expr=simplify(expr)
print(s_expr)

在人教版的數學教材里，我們初一上會接觸一元一次方程組，初一下就會接觸二元一次方程、三元一次方程組，在初三上會接觸到一元二次方程，使用Sympy的solve()函數就能輕松解題。

解一元一次方程

我們來求解這個一元一次方程組。(題目來源于人教版七年級數學上)
$$6 imes x + 6 imes(x-2000)=150000$$

from sympy import *
x = Symbol("x")
print(solve(6*x + 6*(x-2000)-150000,x))

我們需要掌握Python的代碼符號和數學符號之間的對應關系,解一元一次方程就非常簡單。

解二元一次方程組

我們來看如何求解二元一次方程組。（題目來自人教版七年級數學下）

$$ egin{cases} x+ y =10, 2 imes x+ y=16 end{cases} $$

from sympy import *
x,y = symbols("x y")
print(solve([x + y-10,2*x+y-16],[x,y]))

很快就可以得出{x: 6, y: 4}，也就是
$$x=6,y=4$$。

解三元一次方程組

我們來看如何解三元一次方程組。（題目來自人教版七年級數學下）

$$ egin{cases} x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y. end{cases} $$

執行之后，很快可以得出結果{x: 8, y: 2, z: 2}，也就是
$$x=8,y=2,z=2$$

解一元二次方程組

比如我們來求解人教版九年級一元二次方程組比較經典的一個題目，$ax^2+bx+c=0$.

from sympy import *
x,y = symbols("x y")
a,b,c=symbols("a b c")
expr=a*x**2 + b*x + c
s_expr=solve( expr, x)
print(s_expr)

執行之后得出的結果為[(-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)],我們知道根與系數的關系二次方程會有兩個解，這里的格式就是一個列表。轉為我們常見的數學公式即為：
$$frac{-b+sqrt{-4ac+b^2}}{2a} 、-frac{b+sqrt{-4ac+b^2}}{2a}$$

微積分是大學高等數學里非常重要的學習內容，比如求極限、導數、微分、不定積分、定積分等都是可以使用Sympy來運算的。
求極限
Sympy是使用limit(表達式，變量，極限值)函數來求極限的，比如我們要求$lim limits_{x o 0} frac{sinx(x)}{x}$的值。

from sympy import *
x, y, z = symbols("x y z")
expr = sin(x)/x
l_expr=limit(expr, x, 0)
print(l_expr)

執行后即可得到結果為1。

求導

可以使用diff(表達式,變量,求導的次數)函數對表達式求導，比如我們要對$sin(x)e^x$進行$x$求導，以及求導兩次，代碼如下：

from sympy import *
x,y = symbols("x y")
expr=sin(x)*exp(x)
diff_expr=diff(expr, x)
diff_expr2=diff(expr,x,2)
print(diff_expr)
print(diff_expr2)

求導一次的結果就是exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)，也就是$e^xsin(x)+e^xcos(x)$；求導兩次的結果是2*exp(x)*cos(x)，也就是
$$2e^xcosx$$

求不定積分

Sympy是使用integrate(表達式,變量)來求不定積分的，比如我們要求$int(e^xsin{(x)} + e^xcos{(x)}),dx$

from sympy import *
x,y = symbols("x y")
expr=exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)
i_expr=integrate(expr,x)
print(i_expr)

執行之后的結果為：exp(x)*sin(x) 轉化之后為：
$$e^xsin(x)$$

求定積分

Sympy同樣是使用integrate()函數來做定積分的求解，只是語法不同：integrate(表達式,（變量,下區間,上區間))，我們來看如果求解
$int_{-infty}^infty sin{(x^2)},dx$

from sympy import *
x,y = symbols("x y")
expr=sin(x**2)
i_expr=integrate(expr, (x, -oo, oo))
print(i_expr)

執行之后的結果為sqrt(2)*sqrt(pi)/2，也就是
$$frac{sqrt{2}sqrt{pi}}{2}$$

Sympy能夠做的也遠不止這些，初高中、大學的數學運算題在Sympy極為豐富的功能里不過只是開胃入門小菜而已。