摘要：微積分微積分的課程我們也同樣是推薦和的課程。還有一個(gè)斯坦福大學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)入門英文字幕相當(dāng)不錯(cuò)。所以，除了繪制數(shù)學(xué)圖形外，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就應(yīng)該完全與編程有機(jī)結(jié)合。

無(wú)論是三大數(shù)學(xué)軟件Matlab（通信、控制等工程例外）、Maple、Mathematica，還是三大統(tǒng)計(jì)軟件Spass、Stata、SAS，這些可視化的軟件本身就是編程的一個(gè)體現(xiàn)，它們?cè)谝欢ǔ潭壬辖档土宋覀兪褂脭?shù)學(xué)的門檻，但另一方面它們背后的功能是可以被編程取代的，而Python在數(shù)學(xué)和數(shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域的流行，也是逐漸取代這些軟件的一個(gè)過(guò)程。

在職業(yè)方面，精算師、金融工程、商業(yè)分析、數(shù)據(jù)分析師、數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)建模、量化工程師、算法工程師、數(shù)據(jù)產(chǎn)品經(jīng)理、數(shù)據(jù)運(yùn)營(yíng)、數(shù)字營(yíng)銷、大數(shù)據(jù)、游戲開發(fā)、人工智能等諸多職業(yè)崗位都對(duì)數(shù)學(xué)有要求，但是我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這些崗位對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用都需要使用到數(shù)學(xué)軟件以及需要與編程結(jié)合，可以說(shuō)我們要應(yīng)用數(shù)學(xué)，天然就應(yīng)該與編程有機(jī)結(jié)合起來(lái)。而在數(shù)學(xué)、數(shù)據(jù)領(lǐng)域，由于Python編程語(yǔ)言的膠水性質(zhì)以及極為豐富的第三方庫(kù)，Python漸已成為學(xué)數(shù)學(xué)最值得推薦的編程語(yǔ)言。

用Python學(xué)數(shù)學(xué)技術(shù)專欄就嘗試如何將數(shù)學(xué)與編程有機(jī)結(jié)合起來(lái)，讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)回歸到基礎(chǔ)概念的理解和實(shí)際應(yīng)用之中去。(當(dāng)然專欄的目的主要是為數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)等的基礎(chǔ)服務(wù))

所謂將數(shù)學(xué)與編程有機(jī)結(jié)合，一是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方向上就以數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用為重心；二是數(shù)學(xué)在符號(hào)上、圖形上等的表現(xiàn)形式應(yīng)該與編程語(yǔ)言無(wú)縫結(jié)合。

在我們學(xué)生時(shí)代的數(shù)學(xué)教學(xué)存在著諸多弊端:

一是以往的教育過(guò)于強(qiáng)調(diào)具體的計(jì)算能力，很多數(shù)學(xué)學(xué)得好的，不過(guò)是解題高手，一些極其復(fù)雜的微分方程、矩陣等還停留在筆算技巧和筆算能力上，而且對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用需要死記硬背大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式，這無(wú)疑加大了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，也偏離了數(shù)學(xué)原本的方向；在專欄的代數(shù)符號(hào)運(yùn)算里面，我們就提到過(guò)可以借助于Sympy這種CAS工具來(lái)進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，從此數(shù)學(xué)公式的記憶與筆算不再是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)；

二是真正好的數(shù)學(xué)教學(xué)是應(yīng)該要復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論知識(shí)簡(jiǎn)化，國(guó)內(nèi)大學(xué)教程相比于國(guó)外存在很多不足之處，所以接下來(lái)我們也會(huì)推薦一些比較好的數(shù)學(xué)教程。很多人數(shù)學(xué)學(xué)不好、學(xué)不會(huì)在很大程度上也與教程對(duì)數(shù)學(xué)概念的講解有一定的關(guān)系；

三是結(jié)合Python編程是可以對(duì)一些數(shù)學(xué)的問(wèn)題進(jìn)行建模的，通過(guò)編程來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模在前面我們提到的那么多職業(yè)，他們對(duì)數(shù)學(xué)的要求基礎(chǔ)大多是微積分、概率統(tǒng)計(jì)、線性代數(shù)相關(guān)的知識(shí)，只是在以往的學(xué)習(xí)里，我們看不到數(shù)學(xué)是如何應(yīng)用到這些職業(yè)里的；

四是結(jié)合Python以及一些數(shù)學(xué)軟件，我們可以做出一些動(dòng)態(tài)圖形，加深大家對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解

到了大學(xué)之后，線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、微積分等數(shù)學(xué)知識(shí)的難度較中學(xué)時(shí)代更高，整個(gè)數(shù)學(xué)的畫風(fēng)變化過(guò)大，很多概念開始變得難以理解，不知道怎么突然就冒出來(lái)了，也不知道學(xué)了有什么用。關(guān)于這些，其實(shí)有一部分是我們教材的原因，國(guó)內(nèi)大學(xué)教材的編寫者沒(méi)有產(chǎn)品經(jīng)理思維，沒(méi)有切實(shí)站在學(xué)生的角度、沒(méi)有以學(xué)生為中心來(lái)寫教材。這里推薦一些公認(rèn)比較好的教材：

線性代數(shù)

關(guān)于線性代數(shù)這里我們推薦兩個(gè)教程，一個(gè)是William Gilbert Strang（威廉·吉爾伯特·斯特朗）的視頻教程麻省理工公開課：線性代數(shù)，這個(gè)視頻教程有配套的教材線性代數(shù)導(dǎo)論,價(jià)格有點(diǎn)性感，不過(guò)不看書也是OK的。Strang是麻省理工MIT的教授，寫過(guò)很多經(jīng)典的數(shù)學(xué)教材。他親自傳授的這個(gè)線性代數(shù)課程也是享有盛譽(yù)。我們還可以在MIT的開放課程里查看更多關(guān)于課程的信息：MIT線性代數(shù)課程官網(wǎng)。這個(gè)課程還有配套的習(xí)題課，在網(wǎng)易云課堂上也可以看到MIT線性代數(shù)習(xí)題課

二是3Blue1Brown的線性代數(shù)的本質(zhì)。3Blue1Brown是斯坦福大學(xué)畢業(yè)的一個(gè)小哥創(chuàng)辦的Youtube頻道，擅長(zhǎng)用直觀的方法來(lái)闡述難以理解的概念，非常推薦。

微積分

微積分的課程我們也同樣是推薦MIT和3Blue1Brown的課程。微積分在MIT分為單變量微積分和多變量微積分，而且都有配套的習(xí)題視頻，在網(wǎng)易云課堂都可以看到。
單變量微積分、單變量微積分習(xí)題課、多變量微積分、多變量微積分習(xí)題課。如果想看更多視頻內(nèi)容也可以去MIT官網(wǎng)上了解一下，單變量微積分官網(wǎng)、多變量微積分官網(wǎng)。

3Blue1Brown的微積分的本質(zhì)講的也是一如既往的好，可以在學(xué)習(xí)MIT課程前先看。

統(tǒng)計(jì)學(xué)

統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門非常重要的知識(shí)，這里我們推薦Khan Academy可汗學(xué)院的統(tǒng)計(jì)學(xué)教程,雖然也有MIT統(tǒng)計(jì)學(xué)教程，可惜的是沒(méi)有字幕，如果你聽不懂，可以去Youtube上借助AI字幕來(lái)看，也可以去MIT統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)官網(wǎng)上獲取更多資料。還有一個(gè)斯坦福大學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)入門（英文字幕）相當(dāng)不錯(cuò)。
以上教程可能有的使用的R或MATLAB，這些都是可以用Python來(lái)代替的。

有趣的數(shù)學(xué)圖形

為了加深我們對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解，我們通常都需要輔之以一些圖形，比如函數(shù)的圖形、幾何圖形、空間圖形等。以往我們作圖都是通過(guò)在紙上手繪一些圖形，不僅麻煩，而且非常不精確，更無(wú)法讓圖形根據(jù)變量取值的變化來(lái)直觀的調(diào)整圖形。
比如下面這個(gè)公式：

$$y=x^{frac{2}{3}}+0.9sqrt{3.3-x^2}sinleft(pi x ight)$$
為了手繪出這個(gè)圖形，我們不僅要研究這個(gè)數(shù)學(xué)公式的特性（比如最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、拐點(diǎn)、凹凸性）、還要通過(guò)賦值的方式來(lái)確定圖形的輪廓。當(dāng)然由于賦值的有限，圖形自然是無(wú)法做到精準(zhǔn)的。這還是只有一個(gè)變量的情況下，有時(shí)我們?yōu)榱搜芯繑?shù)學(xué)公式，可能會(huì)有多個(gè)變量，比如下面的公式除了x這個(gè)變量以外，還會(huì)有變量b：

$$y=x^{frac{2}{3}}+0.9sqrt{3.3-x^2}sinleft(bpi x ight)$$
由于公式過(guò)于復(fù)雜，學(xué)生時(shí)代數(shù)學(xué)公式的圖形繪制也花了我們大量的時(shí)間。但是圖形卻又是有必要的，因?yàn)樗梢约由钗覀儗?duì)數(shù)學(xué)公式的理解。其實(shí)我們是可以借助于計(jì)算機(jī)軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)公式的圖形的。

數(shù)學(xué)圖形繪制軟件

那上面這個(gè)數(shù)學(xué)公式圖形的動(dòng)畫效果是怎么做的呢，可以使用Desmos或Geogebra 在線版本來(lái)繪制，雖然萬(wàn)能的Wolfram Alpha（ Mathematica產(chǎn)品也是該公司的）也可以做到，不過(guò)體驗(yàn)比較差還收費(fèi)。Desmos、Geogebra、Wolfram Alpha（收費(fèi)）都有非常不錯(cuò)的App產(chǎn)品，非常值得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的朋友使用這些軟件來(lái)增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)公式、概念等的理解。

Desmos、Geogebra可以通過(guò)虛擬鍵盤的方式來(lái)輸入公式，非常方便，而且公式輸入框里面的公式格式是LaTex，可以直接復(fù)制公式到VS Code的Markdown里，加上$$$$符號(hào)即可顯示，對(duì)LaTex不了解的童鞋可以閱讀本專欄用Python學(xué)數(shù)學(xué)里面的《使用Markdown輸出LaTex數(shù)學(xué)公式》。同時(shí)你也可以直接把LaTex格式的數(shù)學(xué)公式直接粘貼到Desmos、Geogebra的數(shù)學(xué)公式輸入框里面。比如把下面LaTex格式的數(shù)學(xué)公式粘貼到數(shù)學(xué)公式輸入框里面，將b作為變量：

x^{frac{2}{3}}+0.9sqrt{3.3-x^2}sinleft(bpi x
ight)

Desmos、Geogebra可以給數(shù)學(xué)公式添加變量，你可以使用Slider來(lái)調(diào)整變量的值，圖形會(huì)實(shí)時(shí)繪制并展示出來(lái)，堪稱教學(xué)神器，以后再也不用手繪數(shù)學(xué)圖形啦~

既然都已經(jīng)是互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代了，借助于PC端在線版本的軟件以及手機(jī)端的App來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是理所應(yīng)當(dāng)?shù)模诿绹?guó)等國(guó)家，這些數(shù)學(xué)軟件早已走進(jìn)了課堂（對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)軟件感興趣的朋友可以自行搜索整理了解一下，這里就不介紹了）。

Symbolab：告訴你運(yùn)算步驟的數(shù)學(xué)軟件

Symbolab ：這是一個(gè)高等數(shù)學(xué)計(jì)算器，支持Online版本（也有不錯(cuò)的App軟件），可以用來(lái)計(jì)算一些基礎(chǔ)的代數(shù)、函數(shù)、三角、微積分等數(shù)學(xué)公式以及化學(xué)公式的運(yùn)算，它最有特色的功能是可以給出比較詳細(xì)運(yùn)算的步驟，如果你想計(jì)算下列數(shù)學(xué)公式的值：

$$int left(x^2+ax-3 ight)^2dx$$

用Symbolab來(lái)計(jì)算，除了可以得出如下結(jié)果：

$$int left(x^2+ax-3 ight)^2dx=frac{ax^4}{2}+frac{x^5}{5}-2x^3+frac{a^2x^3}{3}-3ax^2+9x+C$$

它還會(huì)把整個(gè)運(yùn)算步驟的細(xì)節(jié)也給你展示出來(lái)，非常適合學(xué)生再做數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，來(lái)檢查自己運(yùn)算步驟是否錯(cuò)誤，也適合老師出數(shù)學(xué)習(xí)題。

類似這樣的數(shù)學(xué)軟件還有MathPapa（整體感覺(jué)比Symbolab要差），Photomath （有手機(jī)App，除了可以拍照識(shí)別公式外，也不如Symbolab）、Mathway（也比較一般，手機(jī)App倒是不錯(cuò)）。你也可以在應(yīng)用商店通過(guò)搜索“Math”來(lái)獲取其他數(shù)學(xué)App，不過(guò)它們的功能和以上所說(shuō)的這些都是類似的。

我們一直強(qiáng)調(diào)的是以上所述所有數(shù)學(xué)軟件都是可以被Python取代的（需要GUI圖形點(diǎn)擊操作也可以，只是比較復(fù)雜，不推薦而已），用數(shù)學(xué)軟件是很難做到與編程結(jié)合的，也無(wú)法使用到一些API將數(shù)據(jù)對(duì)接到生產(chǎn)環(huán)節(jié)里去。不能與編程結(jié)合，數(shù)學(xué)公式就是死的，不能有效將數(shù)據(jù)應(yīng)用到生產(chǎn)實(shí)踐里，數(shù)據(jù)的商業(yè)價(jià)值就大打折扣。所以，除了繪制數(shù)學(xué)圖形外，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就應(yīng)該完全與編程有機(jī)結(jié)合。

那Python怎么繪制數(shù)學(xué)圖形呢？我們可以使用最常用的數(shù)據(jù)可視化庫(kù)matplotlib以及可以做代數(shù)符號(hào)運(yùn)算的Sympy來(lái)繪制數(shù)學(xué)圖形。

使用matplotlib繪制 $3x+2x-4$的數(shù)學(xué)圖形：

import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt  
def graph(formula, x_range):  
    x = np.array(x_range)  
    y = eval(formula)
    plt.plot(x, y)  
    plt.show()
    
graph("x**3+2*x-4", range(-10, 11))

使用Sympy繪制$x^2$和$x$交叉的數(shù)學(xué)圖形：

from sympy import symbols
from sympy.plotting import plot
x = symbols("x")
p1 = plot(x*x, show=False)
p2 = plot(x, show=False)
p1.append(p2[0])
p1.show()

另：使用Python的Sympy Gamma也同樣獲得解題的詳細(xì)步驟，不過(guò)使用體驗(yàn)上是沒(méi)法和Symbolab相比的