Manacher算法

buildupchao 發(fā)布于2019-08-21 11:36 / 1856人閱讀

摘要：若他的子串為回文串，則相對(duì)于對(duì)稱的另一端子串必然是回文串。回文串必定是中心對(duì)稱的，也就是。目前確定的是回文半徑范圍內(nèi)能確定的值，對(duì)于半徑外的字符因?yàn)椴恢苣芊窈鸵阎匚拇^續(xù)構(gòu)成更大回文串，所以也要進(jìn)行判斷。

今天思考一道題的時(shí)候，學(xué)習(xí)了一些思路，其中 Manacher 算法很有必要記錄下來(lái)。
本文參考了：http://blog.csdn.net/ggggiqny...

這道題的內(nèi)容是：

給定字符串，找到它的最長(zhǎng)回文子串

最簡(jiǎn)單的思路莫過于找到給定字符串的所有子字符串，然后一個(gè)個(gè)的判斷他們是否是回文字符串，在判斷的時(shí)候用一個(gè)變量把最長(zhǎng)的回文字符串記錄下來(lái)就可以了；
判斷是不是回文字符串很容易

function isPalindrome(str) {
var newStr = str.split("").reverse().join("");
return newStr === str ? true : false;
}

獲得所有子串也很容易

function getSubstring(str){
    var len = str.length;
    for(var i=0; i
這種簡(jiǎn)單粗暴的算法帶來(lái)的后果就是：查找子串時(shí)間復(fù)雜度O(n^2),判斷回文時(shí)間復(fù)雜度O(n)，太費(fèi)時(shí)間；浪費(fèi)時(shí)間的主要原因是沒有充分地利用獲得的信息。
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Manacher算法非常巧妙，使用了一些輔助技巧使得整個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度變?yōu)榫€性。
我們先明確兩件事：

一個(gè)字符串是回文字符串，其中間位置為m。若他的子串S[i,i+x]為回文串，則相對(duì)于m對(duì)稱的另一端子串S[2m-i, 2m-(i+x)]必然是回文串。

回文串必定是中心對(duì)稱的，也就是：S[i] == S[2m-i]。


首先，Manacher算法使用了如下的一個(gè)技巧讓我們不用考慮字符串的奇偶性問題：
每一個(gè)字符兩邊都加上一個(gè)特殊字符,比如以字符串"abba"為例，轉(zhuǎn)換后變成"#a#b#b#a#"。這樣一來(lái)字符串無(wú)論本來(lái)是奇數(shù)還是偶數(shù)，都會(huì)變成奇數(shù)。
function getNewString(str){
    var newStr = "#";   
    for(i = 0;i
然后設(shè)置了一個(gè)概念：創(chuàng)建一個(gè)新數(shù)組P, P[i]項(xiàng)表示以第i個(gè)字符為中心的回文字串的半徑。比如
S  #  a  #  b  #  b  #  a  #  
P  1  2  1  2  5  2  1  2  1
通過表格可以發(fā)現(xiàn)，P[i]-1就是實(shí)際回文字串的長(zhǎng)度（對(duì)應(yīng)的是符號(hào)還是數(shù)字都沒關(guān)系）。
所以我們的任務(wù)轉(zhuǎn)化為了求解數(shù)組 P；
求解數(shù)組 P 是本算法核心，根據(jù)我的理解，將其概括為如下：
設(shè)置兩個(gè)輔助參數(shù)：id 和 mx；id表示當(dāng)前已記載過的邊界最大的回文字符串的中心位置，mx此回文字符串的邊界值，也就是id+p[i]；
初始化一便數(shù)組P，以避免數(shù)組中有undefined:
 for(i = 0;i
接下來(lái)開始討論:
記 i 對(duì)應(yīng)于中心點(diǎn) id 的對(duì)應(yīng)位置為j，即j = 2*id - i;
若當(dāng)前已記載的最大邊境 mx > i(即 i 位置對(duì)應(yīng)的字符在已知回文字符串內(nèi))，那么:
p[i] = Math.min(p[j], mx-i);
就是當(dāng)前面比較的最遠(yuǎn)長(zhǎng)度 mx > i 的時(shí)候，P［i］有一個(gè)最小值，這就是本算法最核心的性質(zhì)。
目前確定的P[i]是回文半徑范圍內(nèi)能確定的值，對(duì)于半徑外的字符,因?yàn)椴恢苣芊窈鸵阎匚拇^續(xù)構(gòu)成更大回文串，所以也要進(jìn)行判斷。
while ((newStr[i + p[i]] == newStr[i - p[i]]) && newStr[i + p[i]]){  
            p[i]++;  
        }  
最后一步，當(dāng)有更大的回文串出現(xiàn)時(shí)，更新mx 和 id 的值
if (i + p[i] > mx) {  
            id = i;  
            mx = id + p[i];  
        }  
整體代碼
function getArrayP(str){  
    var p = [],   
        mx = 0,  
        id = 0;  
    var i;  
     
    var newStr = "#";       // 將字符串轉(zhuǎn)化為奇數(shù)長(zhǎng)度獲取到新的字符串 
    var len = str.length;  
    for(i = 0;i i ? Math.min(p[2*id-i], mx-i) : 1;   
    
        while ((newStr[i + p[i]] == newStr[i - p[i]]) && newStr[i + p[i]]){           // 超出其半徑的位置再做額外判斷，確保 newStr[i + p[i]] 是存在的  
            p[i]++;  
        }  
        
        // 當(dāng)有更大的回文串出現(xiàn)時(shí)，更新中心位置和最大邊界值
        if (i + p[i] > mx) {  
            id = i;  
            mx = id + p[i];  
        }  
    }  
    return p;  
}  
獲得數(shù)組 p 之后，我們就獲取到P的最大值，上面的例子中，最大值是 p[4] = 5;因?yàn)榛匚陌霃剿懔俗约涸趦?nèi)，所以要減去1,所以回文字符串應(yīng)該是從newStr[4-4]起，到newStr[4+4]為止。用newStr.subString(0，8)方法獲得字符串后，再去掉『#』符號(hào)就可以了；
newstr.subString(0, 8).split("#").join("");