我理解的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（五）—— 二分搜索樹（Binary Search Tree）

xeblog 發(fā)布于2019-08-19 11:13 / 2321人閱讀

摘要：我理解的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)五二分搜索樹一二叉樹和鏈表一樣，動態(tài)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)具有唯一根節(jié)點每個節(jié)點最多有兩個子節(jié)點每個節(jié)點最多有一個父節(jié)點具有天然的遞歸結(jié)構(gòu)每個節(jié)點的左子樹也是二叉樹每個節(jié)點的右子樹也是二叉樹一個節(jié)點或者空也是二叉樹二二分搜索樹是二叉樹每個

我理解的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（五）—— 二分搜索樹（Binary Search Tree） 一、二叉樹

和鏈表一樣，動態(tài)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

具有唯一根節(jié)點

每個節(jié)點最多有兩個子節(jié)點

每個節(jié)點最多有一個父節(jié)點

具有天然的遞歸結(jié)構(gòu)

每個節(jié)點的左子樹也是二叉樹

每個節(jié)點的右子樹也是二叉樹

一個節(jié)點或者空也是二叉樹

二、二分搜索樹

是二叉樹

每個節(jié)點的值

大于其左子樹的所有節(jié)點的值

小于其右子樹的所有節(jié)點的值

每一顆子樹也是二分搜索樹

存儲的元素必須有可比較性

三、二分搜索樹基礎(chǔ)代碼實現(xiàn)

1. 基礎(chǔ)代碼

因為二分搜索樹的元素必須具有可比較行，所以E繼承了Comparable，這是一個注意點

public class BST> {

    // 節(jié)點
    private class Node {
        public E e;
        public Node left;
        public Node right;

        public Node(E e) {
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public BST() {
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int getSize() {
        return size;
    }

    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

}

2. 添加元素代碼

public void add(E e) {

    if (root == null) {
        root = new Node(e);
        size++;
    }

    add(root, e);
}

// 在以node為根節(jié)點的二分搜索樹添加元素e，遞歸調(diào)用
private void add(Node node, E e) {

    if (node.e.compareTo(e)) { // 不考慮重復(fù)元素
        return;
    } else if (node.e.compareTo(e) > 0 && node.left == null) {
        node.left = new Node(e);
        size++;
        return;
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0 && node.right == null) {
        node.right = new Node(e);
        size++;
        return;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        add(node.left, e);
    } else {
        add(node.right, e);
    }
}

3. 添加元素代碼（優(yōu)化）

public void add(E e) {

    root = add(root, e);
}

// 返回插入二分搜索樹的根
private Node add(Node node, E e) {

    if (node == null) {
        size++;
        return new Node(e);
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        node.left = add(node.left, e);
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0)  {
        node.right = add(node.right, e);
    }
    return node;
}

4. 查詢元素代碼

// 是否包含元素e
public boolean contains(E e) {
    return contains(root, e);
}

private boolean contains(Node node, E e) {
    if (node == null) {
        return false;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        return contains(node.left, e);
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0) {
        return contains(node.right, e);
    } else {
        return true;
    }
}

四、二分搜索樹的前、中、后序遍歷

二叉樹的前中后序遍歷取決于在什么位置去訪問元素，每個遍歷都有不同的業(yè)務(wù)場景。
就拿下面這個二叉樹舉例：

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//       5      //  
//      /      //
//     3   6    //
//   /        //
//  2   4    8  //
//////////////////

1. 前序遍歷（深度優(yōu)先遍歷）

最常用的遍歷方式

// 前序遍歷
public void preOrder() {
    preOrder(root);
}

private void preOrder(Node node) {
    if (node == null) {
        return;
    }

    // 遍歷前訪問元素：前序遍歷
    System.out.println(node.e);
    preOrder(node.left);
    preOrder(node.right);
}

前序遍歷的結(jié)果：5 3 2 4 6 8

2. 前序遍歷（非遞歸寫法）

public void preOrderNR() {
    // import java.util.Stack; 
    Stack stack = new Stack<>();
    stack.push(root);

    while (!stack.isEmpty()) {
        Node cur = stack.pop();
        System.out.println(cur.e);

        if (cur.right != null) {
            stack.push(cur.right);
        }
        if (cur.left != null) {
            stack.push(cur.left);
        }
    }
}

3. 中序遍歷

二分搜索樹的中序遍歷結(jié)果是順序的

// 中序遍歷
public void inOrder() {
    inOrder(root);
}

private void inOrder(Node node) {
    if (node == null) {
        return;
    }

    inOrder(node.left);
    // 遍歷的中間訪問元素：中序遍歷
    System.out.println(node.e);
    inOrder(node.right);
}

中序遍歷的結(jié)果：2 3 4 5 6 8

4. 后序遍歷

應(yīng)用場景：釋放內(nèi)存

// 后序遍歷
public void postOrder() {
    postOrder(root);
}

private void postOrder(Node node) {

    if (node == null) {
        return;
    }

    postOrder(node.left);
    postOrder(node.right);
    // 遍歷的后面訪問元素：后序遍歷
    System.out.println(node.e);
}

中序遍歷的結(jié)果：2 4 3 8 6 5

五、二分搜索樹的層序遍歷（廣度優(yōu)先遍歷）

和二分搜索樹的前序遍歷不一樣，層序遍歷是廣度優(yōu)先遍歷。
還是這個例子：優(yōu)先遍歷根節(jié)點5，然后是3、6，最后是2、4、8

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//       5      //  
//      /      //
//     3   6    //
//   /        //
//  2   4    8  //
//////////////////

優(yōu)點：

更快的找到問題的解

常用語設(shè)計算法中——最短路徑

代碼實現(xiàn)：

// 層序遍歷
public void levelOrder() {
    levelOrder(root);
}

private void levelOrder(Node node) {
    // import java.util.Queue;
    // import java.util.LinkedList;
    Queue q = new LinkedList<>();
    ((LinkedList) q).add(node);

    while (!q.isEmpty()) {

        Node cur = q.remove();
        System.out.println(cur.e);

        if (cur.left != null) {
            ((LinkedList) q).add(cur.left);
        }
        if (cur.right != null) {
            ((LinkedList) q).add(cur.right);
        }
    }
}

六、刪除二分搜索樹最大值和最小值

1.找到最小值的節(jié)點

從根節(jié)點一直找左節(jié)點，直到找到node.left == null，此時的node就是最小值的節(jié)點

// 二分搜索樹的最小值
public E minimum() {

    if (size == 0) {
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
    }

    return minimum(root).e;
}

// 返回以node為根的二分搜索樹的最小值的節(jié)點
private Node minimum(Node node) {

    if (node.left == null) {
        return node;
    }
    return minimum(node.left);
}

2.找到最大值的節(jié)點

從根節(jié)點一直找右節(jié)點，直到找到node.right == null，此時的node就是最大值的節(jié)點

// 二分搜索樹的最大值
public E maximum() {

    if (size == 0) {
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
    }

    return maximum(root).e;
}

// 返回以node為根的二分搜索樹的最大值的節(jié)點
private Node maximum(Node node) {

    if (node.right == null) {
        return node;
    }
    return maximum(node.right);
}

3.刪除最小值的節(jié)點

如果需要刪除的節(jié)點是一個葉子節(jié)點，沒有右子樹，那么直接刪除即可

如果需要刪除的節(jié)點不是一個葉子節(jié)點，那么需要把右節(jié)點替換到當(dāng)前的節(jié)點

// 刪除最小值的節(jié)點
public E removeMin() {
    E min = minimum();
    root = removeMin(root);
    return min;
}

// 刪除二分搜索樹以node為最小值的節(jié)點
// 返回刪除節(jié)點后的新的二分搜索樹的根
private Node removeMin(Node node) {

    // 找到需要刪除的節(jié)點
    if (node.left == null) {
        Node rightNode = node.right;
        node.right = null;
        size--;
        return rightNode;
    }

    node.left = removeMin(node.left);
    return node;
}

4.刪除最大值的節(jié)點

// 刪除最大值的節(jié)點
public E removeMax() {
    E max = maximum();
    root = removeMax(root);
    return max;
}

// 刪除二分搜索樹以node為最大值的節(jié)點
// 返回刪除節(jié)點后的新的二分搜索樹的根
private Node removeMax(Node node) {

    // 找到需要刪除的節(jié)點
    if (node.right == null) {
        Node leftNode = node.left;
        node.left = null;
        size--;
        return leftNode;
    }

    node.right = removeMax(node.right);
    return node;
}

七、刪除二分搜索樹任意值

刪除任意節(jié)點可以使用前驅(qū)（predecessor）和后繼（successor）兩種方法，下面使用的后繼方法。
刪除任意節(jié)點有三種情況：

刪除只有左子樹的節(jié)點

在邏輯上和刪除最大值的節(jié)點是一樣的

刪除只有右子樹的節(jié)點

在邏輯上和刪除最小值的節(jié)點是一樣的

刪除既有左子樹和右子樹的節(jié)點

1962年，Hibbard提出Hibbard Deletion

原理圖如下

代碼實現(xiàn)：

// 刪除元素為e的節(jié)點
public void remove(E e) {
    root = remove(root, e);
}

private Node remove(Node node, E e) {

    if (node == null) {
        return null;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        node.left = remove(node.left, e);
        return node;
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0) {
        node.right = remove(node.right, e);
        return node;
    } else { // e == node.e

        if (node.left == null) { // 左子樹為空
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size--;
            return rightNode;
        }
        if (node.right == null) { // 右子樹為空
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size--;
            return leftNode;
        }
        // node的后繼
        Node successor = minimum(node.right);
        // 把刪除node.right的后繼后的二叉樹賦值給后繼的right
        successor.right = removeMin(node.right);
        // 把node.left賦值給后繼的left
        successor.left = node.left;

        node.left = node.right = null;

        return successor;
    }
}