我理解的數據結構（五）—— 二分搜索樹（Binary Search Tree）

snowell 發布于2019-07-01 10:45 / 3277人閱讀

摘要：我理解的數據結構五二分搜索樹一二叉樹和鏈表一樣，動態數據結構具有唯一根節點每個節點最多有兩個子節點每個節點最多有一個父節點具有天然的遞歸結構每個節點的左子樹也是二叉樹每個節點的右子樹也是二叉樹一個節點或者空也是二叉樹二二分搜索樹是二叉樹每個

我理解的數據結構（五）—— 二分搜索樹（Binary Search Tree） 一、二叉樹

和鏈表一樣，動態數據結構

具有唯一根節點

每個節點最多有兩個子節點

每個節點最多有一個父節點

具有天然的遞歸結構

每個節點的左子樹也是二叉樹

每個節點的右子樹也是二叉樹

一個節點或者空也是二叉樹

二、二分搜索樹

是二叉樹

每個節點的值

大于其左子樹的所有節點的值

小于其右子樹的所有節點的值

每一顆子樹也是二分搜索樹

存儲的元素必須有可比較性

三、二分搜索樹基礎代碼實現

1. 基礎代碼

因為二分搜索樹的元素必須具有可比較行，所以E繼承了Comparable，這是一個注意點

public class BST> {

    // 節點
    private class Node {
        public E e;
        public Node left;
        public Node right;

        public Node(E e) {
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public BST() {
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int getSize() {
        return size;
    }

    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

}

2. 添加元素代碼

public void add(E e) {

    if (root == null) {
        root = new Node(e);
        size++;
    }

    add(root, e);
}

// 在以node為根節點的二分搜索樹添加元素e，遞歸調用
private void add(Node node, E e) {

    if (node.e.compareTo(e)) { // 不考慮重復元素
        return;
    } else if (node.e.compareTo(e) > 0 && node.left == null) {
        node.left = new Node(e);
        size++;
        return;
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0 && node.right == null) {
        node.right = new Node(e);
        size++;
        return;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        add(node.left, e);
    } else {
        add(node.right, e);
    }
}

3. 添加元素代碼（優化）

public void add(E e) {

    root = add(root, e);
}

// 返回插入二分搜索樹的根
private Node add(Node node, E e) {

    if (node == null) {
        size++;
        return new Node(e);
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        node.left = add(node.left, e);
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0)  {
        node.right = add(node.right, e);
    }
    return node;
}

4. 查詢元素代碼

// 是否包含元素e
public boolean contains(E e) {
    return contains(root, e);
}

private boolean contains(Node node, E e) {
    if (node == null) {
        return false;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        return contains(node.left, e);
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0) {
        return contains(node.right, e);
    } else {
        return true;
    }
}

四、二分搜索樹的前、中、后序遍歷

二叉樹的前中后序遍歷取決于在什么位置去訪問元素，每個遍歷都有不同的業務場景。
就拿下面這個二叉樹舉例：

//////////////////
//       5      //  
//      /      //
//     3   6    //
//   /        //
//  2   4    8  //
//////////////////

1. 前序遍歷（深度優先遍歷）

最常用的遍歷方式

// 前序遍歷
public void preOrder() {
    preOrder(root);
}

private void preOrder(Node node) {
    if (node == null) {
        return;
    }

    // 遍歷前訪問元素：前序遍歷
    System.out.println(node.e);
    preOrder(node.left);
    preOrder(node.right);
}

前序遍歷的結果：5 3 2 4 6 8

2. 前序遍歷（非遞歸寫法）

public void preOrderNR() {
    // import java.util.Stack; 
    Stack stack = new Stack<>();
    stack.push(root);

    while (!stack.isEmpty()) {
        Node cur = stack.pop();
        System.out.println(cur.e);

        if (cur.right != null) {
            stack.push(cur.right);
        }
        if (cur.left != null) {
            stack.push(cur.left);
        }
    }
}

3. 中序遍歷

二分搜索樹的中序遍歷結果是順序的

// 中序遍歷
public void inOrder() {
    inOrder(root);
}

private void inOrder(Node node) {
    if (node == null) {
        return;
    }

    inOrder(node.left);
    // 遍歷的中間訪問元素：中序遍歷
    System.out.println(node.e);
    inOrder(node.right);
}

中序遍歷的結果：2 3 4 5 6 8

4. 后序遍歷

應用場景：釋放內存

// 后序遍歷
public void postOrder() {
    postOrder(root);
}

private void postOrder(Node node) {

    if (node == null) {
        return;
    }

    postOrder(node.left);
    postOrder(node.right);
    // 遍歷的后面訪問元素：后序遍歷
    System.out.println(node.e);
}

中序遍歷的結果：2 4 3 8 6 5

五、二分搜索樹的層序遍歷（廣度優先遍歷）

和二分搜索樹的前序遍歷不一樣，層序遍歷是廣度優先遍歷。
還是這個例子：優先遍歷根節點5，然后是3、6，最后是2、4、8

//////////////////
//       5      //  
//      /      //
//     3   6    //
//   /        //
//  2   4    8  //
//////////////////

優點：

更快的找到問題的解

常用語設計算法中——最短路徑

代碼實現：

// 層序遍歷
public void levelOrder() {
    levelOrder(root);
}

private void levelOrder(Node node) {
    // import java.util.Queue;
    // import java.util.LinkedList;
    Queue q = new LinkedList<>();
    ((LinkedList) q).add(node);

    while (!q.isEmpty()) {

        Node cur = q.remove();
        System.out.println(cur.e);

        if (cur.left != null) {
            ((LinkedList) q).add(cur.left);
        }
        if (cur.right != null) {
            ((LinkedList) q).add(cur.right);
        }
    }
}

六、刪除二分搜索樹最大值和最小值

1.找到最小值的節點

從根節點一直找左節點，直到找到node.left == null，此時的node就是最小值的節點

// 二分搜索樹的最小值
public E minimum() {

    if (size == 0) {
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
    }

    return minimum(root).e;
}

// 返回以node為根的二分搜索樹的最小值的節點
private Node minimum(Node node) {

    if (node.left == null) {
        return node;
    }
    return minimum(node.left);
}

2.找到最大值的節點

從根節點一直找右節點，直到找到node.right == null，此時的node就是最大值的節點

// 二分搜索樹的最大值
public E maximum() {

    if (size == 0) {
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
    }

    return maximum(root).e;
}

// 返回以node為根的二分搜索樹的最大值的節點
private Node maximum(Node node) {

    if (node.right == null) {
        return node;
    }
    return maximum(node.right);
}

3.刪除最小值的節點

如果需要刪除的節點是一個葉子節點，沒有右子樹，那么直接刪除即可

如果需要刪除的節點不是一個葉子節點，那么需要把右節點替換到當前的節點

// 刪除最小值的節點
public E removeMin() {
    E min = minimum();
    root = removeMin(root);
    return min;
}

// 刪除二分搜索樹以node為最小值的節點
// 返回刪除節點后的新的二分搜索樹的根
private Node removeMin(Node node) {

    // 找到需要刪除的節點
    if (node.left == null) {
        Node rightNode = node.right;
        node.right = null;
        size--;
        return rightNode;
    }

    node.left = removeMin(node.left);
    return node;
}

4.刪除最大值的節點

// 刪除最大值的節點
public E removeMax() {
    E max = maximum();
    root = removeMax(root);
    return max;
}

// 刪除二分搜索樹以node為最大值的節點
// 返回刪除節點后的新的二分搜索樹的根
private Node removeMax(Node node) {

    // 找到需要刪除的節點
    if (node.right == null) {
        Node leftNode = node.left;
        node.left = null;
        size--;
        return leftNode;
    }

    node.right = removeMax(node.right);
    return node;
}

七、刪除二分搜索樹任意值

刪除任意節點可以使用前驅（predecessor）和后繼（successor）兩種方法，下面使用的后繼方法。
刪除任意節點有三種情況：

刪除只有左子樹的節點

在邏輯上和刪除最大值的節點是一樣的

刪除只有右子樹的節點

在邏輯上和刪除最小值的節點是一樣的

刪除既有左子樹和右子樹的節點

1962年，Hibbard提出Hibbard Deletion

原理圖如下

代碼實現：

// 刪除元素為e的節點
public void remove(E e) {
    root = remove(root, e);
}

private Node remove(Node node, E e) {

    if (node == null) {
        return null;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        node.left = remove(node.left, e);
        return node;
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0) {
        node.right = remove(node.right, e);
        return node;
    } else { // e == node.e

        if (node.left == null) { // 左子樹為空
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size--;
            return rightNode;
        }
        if (node.right == null) { // 右子樹為空
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size--;
            return leftNode;
        }
        // node的后繼
        Node successor = minimum(node.right);
        // 把刪除node.right的后繼后的二叉樹賦值給后繼的right
        successor.right = removeMin(node.right);
        // 把node.left賦值給后繼的left
        successor.left = node.left;

        node.left = node.right = null;

        return successor;
    }
}

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