摘要：剛剛舉行的深度學(xué)習(xí)開(kāi)發(fā)者峰會(huì)上，發(fā)布了版本，這一版新增了等一系列并行算法。專注于游戲智能少兒趣味編程兩大領(lǐng)域。有了貝爾曼最優(yōu)方程，我們就可以通過(guò)純粹貪心的策略來(lái)確定，即僅僅把最優(yōu)動(dòng)作的概率設(shè)置為，其他所有非最優(yōu)動(dòng)作的概率都設(shè)置為。

剛剛舉行的 WAVE SUMMIT 2019 深度學(xué)習(xí)開(kāi)發(fā)者峰會(huì)上，PaddlePaddle 發(fā)布了 PARL 1.1 版本，這一版新增了 IMPALA、A3C、A2C 等一系列并行算法。作者重新測(cè)試了一遍內(nèi)置 example，發(fā)現(xiàn)卷積速度也明顯加快，從 1.0 版本的訓(xùn)練一幀需大約 1 秒優(yōu)化到了 0.15 秒（配置：win8，i5-6200U，GeForce-940M，batch-size=32）。

嘿嘿，超級(jí)本實(shí)現(xiàn)游戲智能的時(shí)代終于來(lái)臨！廢話不多說(shuō)，我們趕緊試試 PARL 的官方 DQN 算法，玩一玩 Flappy-Bird。

關(guān)于作者：曹天明（kosora），2011 年畢業(yè)于天津科技大學(xué)，7 年的 PHP+Java 經(jīng)驗(yàn)。于2018年9月報(bào)名加入光環(huán)國(guó)際人工智能周末轉(zhuǎn)型班進(jìn)行學(xué)習(xí)提升。個(gè)人研究方向——融合 CLRS 與 DRL 兩大技術(shù)體系，并行刷題和模型訓(xùn)練。專注于游戲智能、少兒趣味編程兩大領(lǐng)域。
模擬環(huán)境

相信大家對(duì)于這個(gè)游戲并不陌生，我們需要控制一只小鳥(niǎo)向前飛行，只有飛翔、下落兩種操作，小鳥(niǎo)每穿過(guò)一根柱子，總分就會(huì)增加。由于柱子是高低不平的，所以需要想盡辦法躲避它們。一旦碰到了柱子，或者碰到了上、下邊緣，都會(huì)導(dǎo)致 game-over。下圖展示了未經(jīng)訓(xùn)練的小笨鳥(niǎo)，可以看到，他處于人工智障的狀態(tài)，經(jīng)常撞柱子或者撞草地：

▲ 未經(jīng)訓(xùn)練的小笨鳥(niǎo)

先簡(jiǎn)要分析一下環(huán)境 Environment 的主要代碼。

BirdEnv.py 繼承自 gym.Env，實(shí)現(xiàn)了 init、reset、reward、render 等標(biāo)準(zhǔn)接口。init 函數(shù)，用于加載圖片、聲音等外部文件，并初始化得分、小鳥(niǎo)位置、上下邊緣、水管位置等環(huán)境信息：

def __init__(self):

if not hasattr(self,"IMAGES"):
    print("InitGame!")
    self.beforeInit()
self.score = self.playerIndex = self.loopIter = 0
self.playerx = int(SCREENWIDTH * 0.3)
self.playery = int((SCREENHEIGHT - self.PLAYER_HEIGHT) / 2.25)
self.baseShift = self.IMAGES["base"].get_width() - self.BACKGROUND_WIDTH
newPipe1 = getRandomPipe(self.PIPE_HEIGHT)
newPipe2 = getRandomPipe(self.PIPE_HEIGHT)
#...other code

step 函數(shù)，執(zhí)行兩個(gè)動(dòng)作，0 表示不采取行動(dòng)（小鳥(niǎo)會(huì)自動(dòng)下落），1 表示飛翔；step 函數(shù)有四個(gè)返回值，image_data 表示當(dāng)前狀態(tài)，也就是游戲畫(huà)面，reward 表示本次 step 的即時(shí)獎(jiǎng)勵(lì)，terminal 表示是否是吸收狀態(tài)，{} 表示其他信息：

def step(self, input_action=0):

pygame.event.pump()
reward = 0.1
terminal = False
if input_action == 1:
    if self.playery > -2 * self.PLAYER_HEIGHT:
        self.playerVelY = self.playerFlapAcc
        self.playerFlapped = True

#...other code

image_data=self.render()
return image_data, reward, terminal,{}

獎(jiǎng)勵(lì) reward；初始獎(jiǎng)勵(lì)是 +0.1，表示小鳥(niǎo)向前飛行一小段距離；穿過(guò)柱子，獎(jiǎng)勵(lì) +1；撞到柱子，獎(jiǎng)勵(lì)為 -1，并且到達(dá) terminal 狀態(tài)：

reward = 0.1

playerMidPos = self.playerx + self.PLAYER_WIDTH / 2
for pipe in self.upperPipes:

pipeMidPos = pipe["x"] + self.PIPE_WIDTH / 2
#穿過(guò)一個(gè)柱子獎(jiǎng)勵(lì)加1
if pipeMidPos <= playerMidPos < pipeMidPos + 4:             
    self.score += 1
    reward = self.reward(1)

if isCrash:

#撞到邊緣或者撞到柱子,結(jié)束,并且獎(jiǎng)勵(lì)為-1
terminal = True
reward = self.reward(-1)

reward 函數(shù)，返回即時(shí)獎(jiǎng)勵(lì) r：

def reward(self,r):

return r

reset 函數(shù)，調(diào)用 init，并執(zhí)行一次飛翔操作，返回 observation,reward,isOver：

def reset(self,mode="train"):

self.__init__()
self.mode=mode
action0 = 1
observation, reward, isOver,_ = self.step(action0)
return observation,reward,isOver

render 函數(shù)，渲染游戲界面，并返回當(dāng)前畫(huà)面：

def render(self):

image_data = pygame.surfarray.array3d(pygame.display.get_surface())
pygame.display.update()
self.FPSCLOCK.tick(FPS)
return image_data

至此，強(qiáng)化學(xué)習(xí)所需的狀態(tài)、動(dòng)作、獎(jiǎng)勵(lì)等功能均定義完畢。接下來(lái)簡(jiǎn)單推導(dǎo)一下 DQN (Deep-Q-Network) 算法的原理。

DQN的發(fā)展過(guò)程

DQN 的進(jìn)化歷史可謂源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，從最開(kāi)始 Bellman 在 1956 年提出的動(dòng)態(tài)規(guī)劃，到后來(lái) Watkins 在 1989 年提出的的 Q-learning，再到 DeepMind 的 Nature-2015 穩(wěn)定版，最后到 Dueling DQN、Priority Replay Memory、Parameter Noise 等優(yōu)化算法，橫跨整整一個(gè)甲子，凝聚了無(wú)數(shù)專家、教授們的心血。如今的我們站在先賢們的肩膀上，從以下角度逐步分析：

貝爾曼（最優(yōu)）方程與 VQ 樹(shù)
Q-learning
參數(shù)化逼近
DQN 算法框架

貝爾曼 (最優(yōu)) 方程與VQ樹(shù)

我們從經(jīng)典的表格型強(qiáng)化學(xué)習(xí)（Tabular Reinforcement Learning）開(kāi)始，回憶一下馬爾可夫決策（MDP）過(guò)程，MDP 可由五元組 (S,A,P,R,γ) 表示，其中：

S 狀態(tài)集合，維度為 1×|S|
A 動(dòng)作集合，維度為 1×|A|
P 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，經(jīng)常寫(xiě)成，其維度為 |S|×|A|×|S|
R 回報(bào)函數(shù)，如果依賴于狀態(tài)值函數(shù) V，維度為 1×|S|，如果依賴于狀態(tài)-動(dòng)作值函數(shù) Q，則維度為 |S|×|A|
γ 折扣因子，用來(lái)計(jì)算帶折扣的累計(jì)回報(bào) G(t)，維度為 1

S、A、R、γ 均不難理解，可能部分同學(xué)對(duì)有疑問(wèn)——既然 S 和 A 確定了，下一個(gè)狀態(tài) S" 不是也確定了嗎？為什么會(huì)有概率轉(zhuǎn)移矩陣呢？

其實(shí)我初學(xué)的時(shí)候也曾經(jīng)被這個(gè)問(wèn)題困擾過(guò)，不妨通過(guò)如下兩個(gè)例子以示區(qū)別：

恒等于 1.0 的情況。如圖 1 所示，也就是上一次我們?cè)诓呗蕴荻人惴ㄖ兴褂玫拿詫m，假設(shè)機(jī)器人處于左上角，這時(shí)候你命令機(jī)器人向右走，那么他轉(zhuǎn)移到紅框所示位置的概率就是 1.0，不會(huì)有任何異議：

▲ 圖1. 迷宮尋寶

不等于 1.0 的情況。假設(shè)現(xiàn)在我們下一個(gè)飛行棋，如圖 2 所示。有兩種骰子，第一種是普通的正方體骰子，可以投出 1~6，第二種是正四面體的骰子，可以投出 1~4。現(xiàn)在飛機(jī)處于紅框所示的位置，現(xiàn)在我們選擇投擲第二種骰子這個(gè)動(dòng)作，由于骰子本身具有均勻隨機(jī)性，所以飛機(jī)轉(zhuǎn)移到終點(diǎn)的概率僅僅是 0.25。這就說(shuō)明，在某些環(huán)境中，給定 S、A 的情況下，轉(zhuǎn)移到具體哪一個(gè) S" 其實(shí)是不確定的：

▲ 圖2. 飛行棋

除了經(jīng)典的五元組外，為了研究長(zhǎng)期回報(bào)，還經(jīng)常加入三個(gè)重要的元素，分別是：

策略 π(a∣s)，維度為 |S|×|A|
狀態(tài)值函數(shù)，維度為 1×|S|，表示當(dāng)智能體采用策略 π 時(shí)，累積回報(bào)在狀態(tài) s 處的期望值：

▲ 圖3. 狀態(tài)值函數(shù)

狀態(tài)-行為值函數(shù)，也叫狀態(tài)-動(dòng)作值函數(shù)，維度為 |S|×|A|，表示當(dāng)智能體采取策略 π 時(shí)，累計(jì)回報(bào)在狀態(tài) s 處并執(zhí)行動(dòng)作 a 時(shí)的期望值：

▲ 圖4. 狀態(tài)-行為值函數(shù)

知道了 π、v、q 的具體含義后，我們來(lái)看一個(gè)重要的概念，也就是 V、Q 的遞歸展開(kāi)式。

學(xué)過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的同學(xué)都知道，動(dòng)態(tài)規(guī)劃本質(zhì)上是一個(gè) bootstrap（自舉）問(wèn)題，它包含最優(yōu)子結(jié)構(gòu)與重疊子問(wèn)題兩個(gè)性質(zhì)，也就是說(shuō)，通常有兩種方法解決動(dòng)態(tài)規(guī)劃：

將總問(wèn)題劃分為 k 個(gè)子問(wèn)題，遞歸求解這些子問(wèn)題，然后將子問(wèn)題進(jìn)行合并，得到總問(wèn)題的最優(yōu)解；對(duì)于重復(fù)的子問(wèn)題，我們可以將他們進(jìn)行緩存（記憶搜索 MemorySearch，請(qǐng)回憶 f(n)=f(n-1)+f(n-2) 這個(gè)遞歸程序）；

計(jì)算最小的子問(wèn)題，合并這些子問(wèn)題產(chǎn)生一個(gè)更大的子問(wèn)題，不斷的自底向上計(jì)算，隨著子問(wèn)題的規(guī)模越來(lái)越大，我們會(huì)得到最終的總問(wèn)題的最優(yōu)解（打表 DP，請(qǐng)回憶楊輝三角中的 dp[i-1,j-1]+dp[i-1,j]=dp[i,j]）。

這兩種切題技巧，對(duì)于有過(guò) ACM 或者 LeetCode 刷題經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)，可以說(shuō)是老朋友了，那么能否把以上思想遷移到強(qiáng)化學(xué)習(xí)呢？答案是肯定的！

分別考慮 v、q 的展開(kāi)式：

處在狀態(tài) s 時(shí)，由于有策略 π 的存在，故可以把狀態(tài)值函數(shù) v 展開(kāi)成以下形式：

▲ 圖5. v展開(kāi)成q

這個(gè)公式表示：在狀態(tài) s 處的值函數(shù)，等于采取策略 π 時(shí)，所有狀態(tài)-行為值函數(shù)的總和。

處在狀態(tài) s、并執(zhí)行動(dòng)作 a，可以把狀態(tài)-行為值函數(shù) q 展開(kāi)成以下形式：

▲ 圖6. q展開(kāi)成v

這個(gè)公式表示：在狀態(tài) s 采用動(dòng)作 a 的狀態(tài)行為值函數(shù)，等于回報(bào)加上后序可能產(chǎn)生的的狀態(tài)值函數(shù)的總和。

我們可以看到：v 可以展開(kāi)成 q，同時(shí) q 也可以展開(kāi)成 v。

所以可以用以下 v、q 節(jié)點(diǎn)相隔的樹(shù)來(lái)表示以上兩個(gè)公式，這顆樹(shù)比純粹的公式更容易理解，我習(xí)慣上把它叫做 V-Q 樹(shù)，它顯然是一個(gè)遞歸的結(jié)構(gòu)：

▲ 圖7. V-Q樹(shù)

注意畫(huà)紅圈中的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，體現(xiàn)了重疊子問(wèn)題特性。如何理解這個(gè)性質(zhì)呢？不妨回憶一下上文提到的飛行棋，假設(shè)飛機(jī)處在起點(diǎn)位置 1，那么無(wú)論投擲 1 號(hào)骰子還是 2 號(hào)骰子，都是有機(jī)會(huì)可以到達(dá)位置 3 的，這就是重疊子問(wèn)題的一個(gè)例子。

有了這棵遞歸樹(shù)之后，就不難推導(dǎo)出 v 和 v"，以及 q 和 q" 自身的遞歸展開(kāi)式：

▲ 圖8. 狀態(tài)值函數(shù)v自身的遞歸展開(kāi)式

▲ 圖9. 狀態(tài)-行為值函數(shù)q自身的遞歸展開(kāi)式

其實(shí)無(wú)論是 v 還是 q，都擁有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)特性。不妨利用反證法加以證明：

假設(shè)要求總問(wèn)題 V(s) 的最優(yōu)解，那么它包含的每個(gè)子問(wèn)題 V(s") 也必須是最優(yōu)解；否則，如果某個(gè)子問(wèn)題 V(s") 不是最優(yōu)，那么必然有一個(gè)更優(yōu)的子問(wèn)題 V"(s") 存在，使得總問(wèn)題 V"(s) 比原來(lái)的總問(wèn)題 V(s) 更優(yōu)，與我們的假設(shè)相矛盾，故最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)得證，q(s) 的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)同理。

計(jì)算值函數(shù)的目的是為了構(gòu)建學(xué)習(xí)算法得到最優(yōu)策略，每個(gè)策略對(duì)應(yīng)著一個(gè)狀態(tài)值函數(shù)，最優(yōu)策略自然也對(duì)應(yīng)著最優(yōu)狀態(tài)值函數(shù)，故而定義如下兩個(gè)函數(shù)：

最優(yōu)狀態(tài)值函數(shù)，表示在所有策略中最大的值函數(shù)，即：

▲ 圖10. 最優(yōu)狀態(tài)值函數(shù)

最優(yōu)狀態(tài)-行為值函數(shù)，表示在所有策略中最大的狀態(tài)-行為值函數(shù)：

▲ 圖11. 最優(yōu)狀態(tài)-行為值函數(shù)

結(jié)合上文的遞歸展開(kāi)式和最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，可以得到 v 與 q 的貝爾曼最優(yōu)方程：

▲ 圖12. v的貝爾曼最優(yōu)方程

▲ 圖13. q的貝爾曼最優(yōu)方程

重點(diǎn)理解第二個(gè)公式，也就是關(guān)于 q 的貝爾曼最優(yōu)方程，它是今天的主角 Q-learning 以及 DQN 的理論基礎(chǔ)。

有了貝爾曼最優(yōu)方程，我們就可以通過(guò)純粹貪心的策略來(lái)確定 π，即：僅僅把最優(yōu)動(dòng)作的概率設(shè)置為 1，其他所有非最優(yōu)動(dòng)作的概率都設(shè)置為 0。這樣做的好處是：當(dāng)算法收斂的時(shí)候，策略 π(a|s) 必然是一個(gè) one-hot 型的矩陣。用數(shù)學(xué)公式表達(dá)如下：

▲ 圖14. 算法收斂時(shí)候的策略π

強(qiáng)化學(xué)習(xí)中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法實(shí)質(zhì)上是一種 model-based（模型已知）方法，因?yàn)?MDP 五元組是已知的，特別是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣是已知的。

也就是說(shuō)，所有的環(huán)境信息對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是 100% 完備的，故而可以對(duì)整個(gè)解空間樹(shù)進(jìn)行全局搜索，下圖展示了動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的示意圖，在確定根節(jié)點(diǎn)狀態(tài) S(t) 的最優(yōu)值的時(shí)候，必須遍歷他所有的 S(t+1) 子節(jié)點(diǎn)并選出最優(yōu)解：

▲ 圖15. 動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的解空間搜索過(guò)程

不過(guò)，和傳統(tǒng)的刷題動(dòng)態(tài)規(guī)劃略有不同，強(qiáng)化學(xué)習(xí)往往是利用值迭代（Value Iteration）、策略迭代（Policy Iteration）、策略改善（Policy Improve）等方式使 v、q、π 等元素達(dá)到收斂狀態(tài)，當(dāng)然也有直接利用矩陣求逆計(jì)算解析解的方法，有興趣的同學(xué)可以參考相關(guān)文獻(xiàn)，這里不再贅述。

Q-learning

上文提到的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法是一種 model-based 方法，僅僅適用于已知的情況。若狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣未知，model-free（無(wú)模型）方法就派上用場(chǎng)了，上一期的 MCPG 算法就是一種典型的 model-free 方法。它搜索解空間的方式更像是 DFS（深度優(yōu)先搜索），而且一條道走到黑，沒(méi)有指針回溯的操作，下圖展示了蒙特卡洛算法的求解示意圖：

▲ 圖16. MC系列方法的解空間搜索過(guò)程

雖然每次只能走一條分支，但隨機(jī)數(shù)發(fā)生器會(huì)幫助算法遍歷整個(gè)解空間，再通過(guò)大量的迭代，所有節(jié)點(diǎn)也會(huì)收斂到最優(yōu)解。

不過(guò)，MC 類方法有兩個(gè)小缺點(diǎn)：

使用作為訓(xùn)練標(biāo)簽，其本身就是值函數(shù)準(zhǔn)確的無(wú)偏估計(jì)。但是，這也正是它的缺點(diǎn)，因?yàn)?MC 方法會(huì)經(jīng)歷很多隨機(jī)的狀態(tài)和動(dòng)作，使得每次得到的 G(t) 隨機(jī)性很大，具有很高的方差。

由于采用的是一條道走到黑的方式從根節(jié)點(diǎn)遍歷到葉子節(jié)點(diǎn)，所以必須要等到 episode 結(jié)束才能進(jìn)行訓(xùn)練，而且每輪 episode 產(chǎn)生的數(shù)據(jù)只訓(xùn)練一次，每輪 episode 產(chǎn)生數(shù)據(jù)的 batch-size 還不一定相同，所以在訓(xùn)練過(guò)程中，MC 方法的 loss 函數(shù)（或者 TD-Error）的波動(dòng)幅度較大，而數(shù)據(jù)利用效率不高。

那么，能否邊產(chǎn)生數(shù)據(jù)邊訓(xùn)練呢？可以！時(shí)序差分（Temporal-Difference-Learning，簡(jiǎn)稱 TD）算法應(yīng)運(yùn)而生了。

時(shí)序差分學(xué)習(xí)是模擬（或者經(jīng)歷）一段序列，每行動(dòng)一步（或者幾步）就根據(jù)新?tīng)顟B(tài)的價(jià)值估計(jì)當(dāng)前執(zhí)行的狀態(tài)價(jià)值。大致可以分為兩個(gè)小類：

TD(0) 算法，只向后估計(jì)一個(gè) step。其值函數(shù)更新公式為：

▲ 圖17. TD(0)算法的更新公式

其中，α 為學(xué)習(xí)率，稱為 TD 目標(biāo)，MC 方法中的 G(t) 也可以叫做 TD 目標(biāo)，稱為 TD-Error，當(dāng)模型收斂時(shí)，TD-Error 會(huì)無(wú)限接近于 0。

Sarsa(λ) 算法，向后估計(jì) n 步，n 為有限值，還有一個(gè)衰減因子 λ。其值函數(shù)的更新公式為：

▲ 圖18. Sarsa(λ)算法的更新公式

▲ 圖19. 的計(jì)算方法

與 MC 方法相比，TD 方法只用到了一步或者有限步隨機(jī)狀態(tài)和動(dòng)作，因此它是一個(gè)有偏估計(jì)。不過(guò)，由于 TD 目標(biāo)的隨機(jī)性比 MC 方法的 G(t) 要小，所以方差也比 MC 方法小的多，值函數(shù)的波動(dòng)幅度較小，訓(xùn)練比較穩(wěn)定。

看一下 TD 方法的解空間搜索示意圖，紅框表示 TD(0)，藍(lán)框表示 Sarsa(λ)。雖然每次估計(jì)都有一定的偏差，但隨著算法的不斷迭代，所有的節(jié)點(diǎn)也會(huì)收斂到最優(yōu)解：

▲ 圖20. TD方法的解空間搜索過(guò)程

有了 TD 的框架，既然我們要求狀態(tài)值函數(shù) v、狀態(tài)-行為值函數(shù) q 的最優(yōu)解，那么是否能直接選擇最優(yōu)的 TD 目標(biāo)作為 Target 呢？答案是肯定的，這也是 Q-Learning 算法的基本思想，其公式如下所示：

▲ 圖21. Q-learning算法的學(xué)習(xí)公式

其中，動(dòng)作 a 由 ε-greedy 策略選出，從而在狀態(tài) s 處執(zhí)行 a 之后產(chǎn)生了另一個(gè)狀態(tài) s"，接下來(lái)選出狀態(tài) s" 處最大的狀態(tài)-行為值函數(shù) q(s",a")，這樣，TD 目標(biāo)就可以確定為 R+γmax[a′]Q(s′,a′)。這種思想很像貪心算法中的總是選擇在當(dāng)前看來(lái)最優(yōu)的決策，它一開(kāi)始可能會(huì)得到一個(gè)局部最優(yōu)解，不過(guò)沒(méi)關(guān)系，隨著算法的不斷迭代，整個(gè)解空間樹(shù)也會(huì)收斂到全局最優(yōu)解。

以下是 Q-learning 算法的偽代碼，和 on-policy 的 MC 方法對(duì)應(yīng)，它是一種 off-policy（異策略）方法：

initialize Q_table[|S|,|A|] //初始化Q矩陣
for i in range(0,maxEpisode):

s=env.reset()  //初始化狀態(tài)s
for j in range(0,maxStep):
    //用ε-greedy策略在s行選一個(gè)動(dòng)作a
    choose action a using ε-greedy from Q_table[s] 
    s",R,terminal,_=env.step(a) //執(zhí)行動(dòng)作a,得到下一個(gè)狀態(tài)s",獎(jiǎng)勵(lì)R，是否結(jié)束terminal
    max_s_prime_action=np.max(Q_table[s",:]) //選s"對(duì)應(yīng)的最大行為值函數(shù)
    td=R+γ*max_s_prime_action //計(jì)算TD目標(biāo)
    Q_table[s,a]= Q_table[s,a]+α*(td-Q_table[s,a]) //學(xué)習(xí)Q(s,a)的值
    s=s" //更新s，注意，和sarsa算法不同，這里的a不用更新
    if terminal:
        break

Q-learning 是一種優(yōu)秀的算法，不僅簡(jiǎn)單直觀，而且平均速度比 MC 快。在 DRL 未出現(xiàn)之前，它在強(qiáng)化學(xué)習(xí)中的地位，差不多可以媲美 SVM 在機(jī)器學(xué)習(xí)中的地位。

參數(shù)化逼近

有了 Q-learning 算法，是否就能一招吃遍天下鮮了呢？答案是否定的，我們看一下它存在的問(wèn)題。

上文所提到的，無(wú)論是 DP、MC 還是 TD，都是基于表格（tabular）的方法，當(dāng)狀態(tài)空間比較小的時(shí)候，計(jì)算機(jī)內(nèi)存完全可以裝下,表格式型強(qiáng)化學(xué)習(xí)是完全適用的。但遇到高階魔方（三階魔方的總變化數(shù)是）、圍棋（）這類問(wèn)題時(shí)，S、V、Q、P 等表格均會(huì)出現(xiàn)維度災(zāi)難，早就超出了計(jì)算機(jī)內(nèi)存甚至硬盤(pán)容量。這時(shí)候，參數(shù)化逼近方法就派上用場(chǎng)了。

所謂參數(shù)化逼近，是指值函數(shù)可以由一組參數(shù) θ 來(lái)近似，如 Q-learning 中的 Q(s,a) 可以寫(xiě)成 Q(s,a|θ) 的形式。這樣，不但降低了存儲(chǔ)維度，還便于做一些額外的特征工程，而且 θ 更新的同時(shí)，Q(s,a|θ) 會(huì)進(jìn)行整體更新，不僅避免了過(guò)擬合情況，還使得模型的泛化能力更強(qiáng)。

既然有了可訓(xùn)練參數(shù)，我們就要研究損失函數(shù)了，Q-Learning 的損失函數(shù)是什么呢？

先看一下 Q-Learning 的優(yōu)化目標(biāo)——使得 TD-Error 最小：

▲ 圖22. Q-Learning的優(yōu)化目標(biāo)

加入?yún)?shù) θ 之后，若將 TD 目標(biāo)作為標(biāo)簽 target，將 Q(s,a) 作為模型的輸出 y，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：

▲ 圖23. 帶參數(shù)的優(yōu)化目標(biāo)

這是我們所熟悉的監(jiān)督學(xué)習(xí)中的回歸問(wèn)題，顯然 loss 函數(shù)就是 mse，故而可以用梯度下降算法最小化 loss，從而更新參數(shù) θ：

▲ 圖24. loss函數(shù)的梯度下降公式

注意到，TD 目標(biāo)是標(biāo)簽，所以 Q(s",a"|θ) 中的 θ 是不能更新的，這種方法并非完全的梯度法，只有部分梯度，稱為半梯度法，這是 NIPS-2013 的雛形。

后來(lái)，DeepMind 在 Nature-2015 版本中將 TD 網(wǎng)絡(luò)多帶帶分開(kāi)，其參數(shù)為 θ"，它本身并不參與訓(xùn)練，而是每隔固定步數(shù)將值函數(shù)逼近的網(wǎng)絡(luò)參數(shù) θ 拷貝給 θ"，這樣保證了 DQN 的訓(xùn)練更加穩(wěn)定：

▲ 圖25. 含有目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)θ"的梯度下降公式

至此，DQN 的 Loss 函數(shù)、梯度下降公式推導(dǎo)完畢。

DQN算法框架

接下來(lái)，還要解決兩個(gè)問(wèn)題——數(shù)據(jù)從哪里來(lái)？如何采集？

針對(duì)以上兩個(gè)問(wèn)題，DeepMind 團(tuán)隊(duì)提出了深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)的全新訓(xùn)練方法：經(jīng)驗(yàn)回放（experience replay）。

在強(qiáng)化學(xué)習(xí)過(guò)程中，智能體將數(shù)據(jù)存儲(chǔ)到一個(gè) ReplayBuffer 中（任何一種集合，可以是哈希表、數(shù)組、隊(duì)列，也可以是數(shù)據(jù)庫(kù)），然后利用均勻隨機(jī)采樣的方法從 ReplayBuffer 中抽取數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)就可以進(jìn)行 Mini-Batch-SGD，這樣就打破了數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，使得數(shù)據(jù)之間盡量符合獨(dú)立同分布原則。

DQN 的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如下：

▲ 圖26. DQN的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

要特別注意：

與參數(shù) θ 做線性運(yùn)算 (wx+b) 的僅僅是輸入狀態(tài) s，這一步?jīng)]有動(dòng)作 a 的參與；

output_1 的維度為 |A|，表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) Q(s,θ) 的輸出；

輸入動(dòng)作 a 是 one-hot，與 output_1 作哈達(dá)馬積后產(chǎn)生的 output_2 是一個(gè)數(shù)字，作為損失函數(shù)中的 Q(s,a|θ)，也就是 y。

以下是 DQN 算法的偽代碼：

Initialize replay_memory D as a deque,mas_size=50000

Initialize action-value function Q(s,a|θ) as Neural Network with random-weights-initializer

Initialize target action-value function Q(s,a|θ) with weights θ"=θ

for episode in range(0,max_episode=65535):

#重置環(huán)境env，得到初始狀態(tài)s
s=env.reset()

#循環(huán)事件的每一步，最多迭代max_step_limit個(gè)step
for step in range(0,max_step_limit=1024):

    #通過(guò)ε-greedy的方式選出一個(gè)動(dòng)作action
    With probability ε select a random action a or select a=argmax(Q(s,θ))

    #在env中執(zhí)行動(dòng)作a，得到下一個(gè)狀態(tài)s"，獎(jiǎng)勵(lì)R,是否終止terminal
    s",R,terminal,_=env.step(a)

    #將五元組(s,a,s",R,terminal)壓進(jìn)隊(duì)尾
    D.addLast(s,a,s",R,terminal)

    #如果隊(duì)列滿，彈出隊(duì)頭元素
    if D.isFull():
        D.removeFirst()

    #更新?tīng)顟B(tài)s
    s=s"

    #從隊(duì)列中進(jìn)行隨機(jī)采樣
    batch_experience[s,a,s",R,terminal]=random_select(D,batch_size=32)

    #計(jì)算TD目標(biāo)
    target = R + γ*(1- terminal) * np.max(Q(s",θ"))

    #對(duì)loss函數(shù)執(zhí)行Gradient-decent，訓(xùn)練參數(shù)θ
    θ=θ+α*(target-Q(s,a|θ))▽Q(s,a|θ)

    #每隔C步，同步θ與θ"的權(quán)值
    Every C steps set θ"=θ

    #是否結(jié)束
    if terminal：
       break 

我們玩的游戲 Flappy-Bird，它的輸入是一幀一幀的圖片，所以，經(jīng)典的 Atari-CNN 模型就可以派上用場(chǎng)了：

▲ 圖27. Atari游戲的CNN網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

網(wǎng)絡(luò)的輸入是被處理成灰度圖的最近 4 幀 84*84 圖像（4 是經(jīng)驗(yàn)值），經(jīng)過(guò)若干 CNN 和 FullyConnect 后，輸出各個(gè)動(dòng)作所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)-行為值函數(shù) Q。以下是每一層的具體參數(shù)，由于 atari 游戲最多有 18 個(gè)動(dòng)作，所以最后一層的維度是 18：

▲ 圖28. 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的具體參數(shù)

至此，理論部分推導(dǎo)完畢。下面，我們分析一下 PARL 中的 DQN 部分的源碼，并實(shí)現(xiàn) Flappy-Bird 的游戲智能。

代碼實(shí)現(xiàn)

依次分析 env、model、algorithm、agent、replay_memory、train 等模塊。

BirdEnv.py，環(huán)境；上文已經(jīng)分析過(guò)了。

BirdModel.py，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型；使用三層 CNN+兩層 FC，CNN 的 padding 方式都是 valid，最后輸出狀態(tài)-行為值函數(shù) Q，維度為 |A|。注意輸入圖片歸一化，并按照官方模板填入代碼：

class BirdModel(Model):

def __init__(self, act_dim):
    self.act_dim = act_dim
    #padding方式為valid
    p_valid=0
    self.conv1 = layers.conv2d(
        num_filters=32, filter_size=8, stride=4, padding=p_valid, act="relu")
    self.conv2 = layers.conv2d(
        num_filters=64, filter_size=4, stride=2, padding=p_valid, act="relu")
    self.conv3 = layers.conv2d(
        num_filters=64, filter_size=3, stride=1, padding=p_valid, act="relu")
    self.fc0=layers.fc(size=512)
    self.fc1 = layers.fc(size=act_dim)

def value(self, obs):
    #輸入歸一化
    obs = obs / 255.0
    out = self.conv1(obs)
    out = self.conv2(out)
    out = self.conv3(out)
    out = layers.flatten(out, axis=1)
    out = self.fc0(out)
    out = self.fc1(out)
    return out

dqn.py，算法層；官方倉(cāng)庫(kù)已經(jīng)提供好了，我們無(wú)需自己再寫(xiě)，直接復(fù)用算法庫(kù)（parl.algorithms）里邊的 DQN 算法即可。

簡(jiǎn)單分析一下 DQN 的源碼實(shí)現(xiàn)。

define_learn 函數(shù)，用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)。接收 [狀態(tài) obs, 動(dòng)作 action, 即時(shí)獎(jiǎng)勵(lì) reward, 下一個(gè)狀態(tài) next_obs, 是否終止 terminal] 這樣一個(gè)五元組，代碼實(shí)現(xiàn)如下：

pred_value = self.model.value(obs)

next_pred_value = self.target_model.value(next_obs)

best_v = layers.reduce_max(next_pred_value, dim=1)
best_v.stop_gradient = True

target = reward + (1.0 - layers.cast(terminal, dtype="float32")) self.gamma best_v

action_onehot = layers.one_hot(action, self.action_dim)
action_onehot = layers.cast(action_onehot, dtype="float32")
pred_action_value = layers.reduce_sum(layers.elementwise_mul(action_onehot, pred_value), dim=1)

cost = layers.square_error_cost(pred_action_value, target)
cost = layers.reduce_mean(cost)
optimizer = fluid.optimizer.Adam(self.lr, epsilon=1e-3)
optimizer.minimize(cost)

sync_target 函數(shù)用于同步網(wǎng)絡(luò)參數(shù)：

def sync_target(self, gpu_id):

""" sync parameters of self.target_model with self.model
"""
self.model.sync_params_to(self.target_model, gpu_id=gpu_id)

BirdAgent.py，智能體。其中，build_program 函數(shù)封裝了 algorithm 中的 define_predict 和 define_learn，sample 函數(shù)以 ε-greedy 策略選擇動(dòng)作，predict 函數(shù)以 100% 貪心的策略選擇 argmax 動(dòng)作，learn 函數(shù)接收五元組 (obs, act, reward, next_obs, terminal) 完成學(xué)習(xí)功能，這些函數(shù)和 Policy-Gradient 的寫(xiě)法類似。

除了這些常用功能之外，由于游戲的訓(xùn)練時(shí)間比較長(zhǎng)，所以附加了兩個(gè)函數(shù)，save_params 用于保存模型，load_params 用于加載模型：

def save_params(self, learnDir,predictDir):

fluid.io.save_params(
    executor=self.fluid_executor,
    dirname=learnDir,
    main_program=self.learn_programs[0])   
fluid.io.save_params(
    executor=self.fluid_executor,
    dirname=predictDir,
    main_program=self.predict_programs[0])     

def load_params(self, learnDir,predictDir):

fluid.io.load_params(
    executor=self.fluid_executor,
    dirname=learnDir,
    main_program=self.learn_programs[0])  
fluid.io.load_params(
    executor=self.fluid_executor,
    dirname=predictDir,
    main_program=self.predict_programs[0]) 

另外，還有四個(gè)超參數(shù)，可以進(jìn)行微調(diào)：

self.update_target_steps = 5000

self.exploration = 0.8

self.exploration_dacay=1e-6

self.min_exploration=0.05

replay_memory.py，經(jīng)驗(yàn)回放單元。雙端隊(duì)列 _context 是一個(gè)滑動(dòng)窗口，用來(lái)記錄最近 3 幀（再加上新產(chǎn)生的 1 幀就是 4 幀）；state、action、reward 等用 numpy 數(shù)組存儲(chǔ)，因?yàn)?numpy 的功能比雙端隊(duì)列更豐富，max_size 表示 replay_memory 的最大容量：

self.state = np.zeros((self.max_size, ) + state_shape, dtype="int32")
self.action = np.zeros((self.max_size, ), dtype="int32")
self.reward = np.zeros((self.max_size, ), dtype="float32")
self.isOver = np.zeros((self.max_size, ), dtype="bool")

self._context = deque(maxlen=context_len - 1)

其他的 append、recent_state、sample_batch 等函數(shù)并不難理解，都是基于 numpy 數(shù)組的進(jìn)一步封裝，略過(guò)一遍即可看懂。

Train_Test_Working_Flow.py，訓(xùn)練與測(cè)試，讓環(huán)境 evn 和智能體 agent 進(jìn)行交互。最重要的就是 run_train_episode 函數(shù)，體現(xiàn)了 DQN 的主要邏輯，重點(diǎn)分析注釋部分與 DQN 偽代碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其他都是編程細(xì)節(jié)：

def run_train_episode(env, agent, rpm):

global trainEpisode
global meanReward
total_reward = 0
all_cost = []
#重置環(huán)境
state,_, __ = env.reset()
step = 0
#循環(huán)每一步
while True:
    context = rpm.recent_state()
    context.append(resizeBirdrToAtari(state))
    context = np.stack(context, axis=0)
    #用ε-greedy的方式選一個(gè)動(dòng)作
    action = agent.sample(context)
    #執(zhí)行動(dòng)作
    next_state, reward, isOver,_ = env.step(action)
    step += 1
    #存入replay_buffer
    rpm.append(Experience(resizeBirdrToAtari(state), action, reward, isOver))
    if rpm.size() > MEMORY_WARMUP_SIZE:
        if step % UPDATE_FREQ == 0:
            #從replay_buffer中隨機(jī)采樣
            batch_all_state, batch_action, batch_reward, batch_isOver = rpm.sample_batch(batchSize)
            batch_state = batch_all_state[:, :CONTEXT_LEN, :, :]
            batch_next_state = batch_all_state[:, 1:, :, :]
            #執(zhí)行SGD,訓(xùn)練參數(shù)θ
            cost=agent.learn(batch_state,batch_action, batch_reward,batch_next_state, batch_isOver)
            all_cost.append(float(cost))
    total_reward += reward
    state = next_state
    if isOver or step>=MAX_Step_Limit:
        break
if all_cost:
    trainEpisode+=1
    #以滑動(dòng)平均的方式打印平均獎(jiǎng)勵(lì)
    meanReward=meanReward+(total_reward-meanReward)/trainEpisode
    print("
 trainEpisode:{},total_reward:{:.2f}, meanReward:{:.2f} mean_cost:{:.3f}"
          .format(trainEpisode,total_reward, meanReward,np.mean(all_cost)))
return total_reward, step

除了主要邏輯外，還有一些常見(jiàn)的優(yōu)化手段，防止訓(xùn)練過(guò)程中出現(xiàn) trick：

MEMORY_WARMUP_SIZE = MEMORY_SIZE//20

MAX_Step_Limit=int(1<<12)

avgQueue=deque(maxlen=16)

另外，還有其他一些超參數(shù)，比如學(xué)習(xí)率 LEARNING_RATE、衰減因子 GAMMA、記錄日志的頻率 log_freq 等等，都可以進(jìn)行微調(diào)：

GAMMA = 0.99

LEARNING_RATE = 1e-3 * 0.5

log_freq=10

main 函數(shù)在這里，輸入 train 訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，輸入 test 進(jìn)行測(cè)試：

if name == "__main__":

print("train or test ?")
mode=input()
print(mode)
if mode=="train":
    train()
elif mode=="test":
    test()
else:
    print("Invalid input!")

這是模型在我本機(jī)訓(xùn)練的輸出日志，大概 3300 個(gè) episode、50 萬(wàn)步之后，模型就收斂了：

▲ 圖29. 模型訓(xùn)練的輸出日志

平均獎(jiǎng)勵(lì)：

▲ 圖30. 最近16次平均獎(jiǎng)勵(lì)變化曲線

各位同學(xué)可以試著調(diào)節(jié)超參數(shù)，或者修改網(wǎng)絡(luò)模型，看看能不能遇到一些坑？哪些因素會(huì)影響訓(xùn)練效率？如何提升收斂速度？

接下來(lái)就是見(jiàn)證奇跡的時(shí)刻，當(dāng)初懵懂的小笨鳥(niǎo)，如今已修煉成精了！

▲ 訓(xùn)練完的FlappyBird

觀看 4 分鐘完整版：

https://www.bilibili.com/vide...

Github源碼：

https://github.com/kosoraYint...

參考文獻(xiàn)

[1] Bellman, R.E. & Dreyfus, S.E. (1962). Applied dynamic programming. RAND Corporation.
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[4] https://leetcode.com/problems...
[5] https://leetcode.com/problems...
[6] https://github.com/yenchenlin...
[7] https://github.com/MorvanZhou...