摘要：方向向量與向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。向量解決方案三方案一的問題在于，向量到向量之間的線性插值是直線均勻的，但是不是角度均勻的。

記得幾年前，我的一個同事J需要做一個動畫功能，大概的需求是
實現球面上一個點到另外一個點的動畫。當時他遇到了難度，在研究了一個上午無果的情況下，咨詢了我。我就告訴他說，你先嘗試一個簡化的版本，就是實現圓環上一個點到另外一個點的動畫。如下圖所示，要實現點A插值漸變到B的動畫過程。

同事J的解決方案是，先計算出來A點和圓心O的連線和水平方向（與X軸平行)的夾角1，再計算出B點和圓心O的連線和水平水平方向的夾角2。 計算出夾角以后，開始實現動畫效果，由于已經有了兩個角度，所以只需要實現一個角度不斷插值變化的效果即可，如下圖所示：

但是這兒存在一個問題，比如下圖中。

從A點和B點的位置變化從圖中可以看出，A點在第二象限，角度范圍是π/2~π，而A點在第三象限，角度范圍在 -π~-π/2（Math.atan2的計算結果）。此時從A點的角度動畫到B點的角度，動畫效果是從A點沿著順時針方向繞一大圈動畫到B，而不是直接從A點逆時針動畫到B點。
而實際上我們想要的結果是從A點逆時針到B點（運動的角度最小）。如果此時需要獲得正確的結果，就需要做各種角度的轉換適配。

首先假設OA的坐標點為（x1，y1），注意此處是A點相對于與圓心O點的坐標，這樣方便計算。然后計算出角度，我們知道可以通過Math.atan2(y,x)來計算角度。 那么計算出來的角度的范圍如下，以坐標系4個象限為分類標準：

第一象限的角度范圍是：0 ~ PI/2

第二象限的角度范圍是：PI/2 ~ PI

第三象限的角度范圍是：-PI ~-PI/2

第四象限的角度范圍是: -PI/2 ~-PI

如下圖所示：

從上面圖中可以看出，象限之間的角度變換不是線性的，比如從第二象限到第三象限，角度出現了跳躍式的變換。假設A點在第二象限，B點在第三象限，如下圖所示：

現在假設A點的角度為 3/4 PI, B點的角度為 - 3/4PI,如果按照角度插值的方式進行運動。示例代碼片段入下：

      var i = 0,count = 200;
      var PI = Math.PI;
      function animateAngle() {   
        var angle = (angle1 * (count-i) + angle2 * (i)) / count;
        var x = cx + Math.cos(angle) * r,
            y = cy + Math.sin(angle) * r;
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(cx,cy);
        ctx.lineTo(x,y);
        ctx.strokeStyle = "red";
        ctx.stroke();
        i ++;
        if(i > count){
            i = 0;
        }
      }

運動的軌跡如下圖紅色弧線所示，

而實際，我們希望的效果是按照最短的路徑進行運動，如下圖藍色弧線：

為什么運動軌跡是紅色的弧線呢。 因為使用了角度的插值，A點角度是PI3/4,B點角度為-PI3/4，因此插值是從一個正的角度減少到一個負的角度，這正好是紅色路徑。下圖標記了主要節點的角度：
。
同樣的道理，從B點動畫到A點，也同樣會走紅色路徑。

要實現A點和B點之間沿著藍色弧線動畫，需要把B點的角度加上2 PI，此時B點的角度為PI5/4。看來把小于0的角度加上2*PI，可以解決上面的問題。
但是這種方式不能解決所有的情況，比如把A點移到第一象限，有下面兩種情況：

情況1： 紅色弧線的角度小于PI，此時應該沿著紅色弧線動畫，此時
B點的角度不應該加上PI*2

情況2： 紅色弧線的角度大于PI，此時應該沿著藍色弧線動畫，此時
B點的角度應該加上PI*2

可以看出情況比較復雜，需要考慮角度的各種情況進行轉換，才能得到正確的結果，所以很多人程序員會陷入其中熱找不到正解。

正是由于有了這個角度的問題，導致這個動畫實現的難度變大。同事J在經過各種實驗后未能找到好的解決方案，問我如何解決。我看了之后，給出的解決方案是，可以考慮直接用向量的插值，而不是用角度的插值。向量的基本概念，我們在高中就學習過，此處不做詳細說明。

比如上面的問題，無論是A點到B點，還是A點到C點，都可以用統一的模式解決。首先，我們可以把問題簡化成一個線性運動的問題，比如從A點運動C點，由于是線性問題，這通過向量的插值（0~1）很容易計算出來，首先計算出向量OA，然后計算出向量OC，通過之后可以通過插值運算，計算出中間向量
OX = OA （1-x） + OC （x）
上面的公式計算出來的OX，其長度和OA和OC并不相等，所以點X并不是在圓環上運動。此時只需要通過向量的縮放操作，把OX的長度延長為OA的長度即可。

以下是代碼片段：

 var v1 = new Vec3(x1-cx,y1-cy,0),
         v2 = new Vec3(x2-cx,y2-cy,0);
var i = 0,count = 200;
function animateVector(){
          var a = i / count;
          var v = new Vec2().lerpVectors(v1,v2,a);
          v.setLength(r);
          i ++;
          if(i > count){
            i = 0;
          }
          
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(cx,cy);
        ctx.lineTo(v.x + cx,v.y + cy);
        ctx.strokeStyle = "orange";
        ctx.stroke();
      }

其中Vec2是二維向量類。
當然上面的解決方案有個問題：上面的運動是基于直線均勻運動的，應此并不能保證動畫的角度均勻性。當角度小的時候，這種差異并不大，所以在不嚴格要求角度均勻的情況下，可以不用處理。 而如果角度大的時候，速度差異就會比較大。

如果一定要角度均勻，也是可以做的，可以用到向量的點乘、叉乘知識。首先我們需要學習兩個知識點

向量A（ x1,y1）和向量B(x2,y2)的點乘結果如下：

A*B = x1*x2 + y1*y2

向量A點乘向量B的點乘結果的另外一個公式如下：

a * b = |a| * |b| * cosθ 

通過該公式可以推導出，兩個向量之間的夾角的計算公式：

cosθ  = a * b /( |a| * |b| )
θ = Math.acos(a * b /( |a| * |b| ));

點乘計算出來的夾角的的范圍是在0~PI之間。

二維向量沒有叉乘，叉乘是針對三維向量的。本文所述的問題，是一個二維的問題 ，但是為了方便使用叉乘來解決問題，把二維問題升級到三維問題，也就是，增加一個z坐標。
向量叉乘的結果叫做向量積，其本身也是一個向量，向量積的定義如下：
模長：（在這里θ表示兩向量之間的夾角(共起點的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于這兩個矢量所定義的平面上。）
方向：向量A與向量B的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系是滿足右手定則的，當右手的四指從A以不超過180度的轉角轉向B時，豎起的大拇指指向是向量C的方向。C = A ∧ B）
。

本文中，向量A和向量B都在xy平面，所以他們的叉乘結果C（向量積）和xy平面垂直，和z坐標平行。其方向和A到B的順序有關：

當A到B是順時針的時候，C指向z軸的負方向。

當A到B是逆時針的時候，C指向z軸的正方向。

有了相關的向量知識，現在給出問題的解決方案，代碼如下：

 var v1 = new Vec3(x1-cx,y1-cy,0),
           v2 = new Vec3(x2-cx,y2-cy,0);
        var crossVector = new Vec3().crossVectors(v1,v2);
var i = 0,count = 100;
function animateVector2(){
        var a = i / count;
        var vAngle = v1.angleTo(v2); 
        if(crossVector.z > 0){//通過向量叉乘判斷是逆時針還是順時針，crossVector.z > 0是逆時針
            angleEnd = angle1 + vAngle;
        }else{
            angleEnd = angle1 - vAngle;
        }
        var angle = (angle1 * (count-i) + angleEnd * (i)) / count;
        var x = cx + Math.cos(angle) * r,
            y = cy + Math.sin(angle) * r;
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(cx,cy);
        ctx.lineTo(x,y);
        ctx.strokeStyle = "orange";
        ctx.stroke();
        i ++;
        if(i > count){
            i = 0;
        }
      }

大致步驟如下：

通過三角函數知識，計算出A點的夾角angle1。

通過向量的點乘知識，可以計算出兩個向量之間的夾角vAngle。

通過向量叉乘計算出向量A和向量B的向量積crossVector。

通過crossVector的方向，來判斷向量A到向量B的運動方向是順時針還是逆時針。如果crossVector.z > 0說明是逆時針，反之是順時針。

如果是順時針，通過 angle1 - vAngle計算出角度angleEnd，如果是逆時針，通過 angle1 + vAngle計算出角度angleEnd。

通過在angle1和angleEnd之間進行角度插值來實現動畫效果。

總結： 上面的方法其實還是使用角度的插值來實現動畫效果，所以是角度均勻的動畫。 但是借助了向量工具，讓起始和結束角度的計算變得容易。

方案一的問題在于，向量A到向量B之間的線性插值是直線均勻的，但是不是角度均勻的。如果我們把線性插值的插值因子改成角度均勻，而仍然使用線性插值的計算方式，就可以解決方案一的問題。這要借助三角函數的知識，先看下圖：

首先通過向量點乘，可以計算出角AOB的夾角vAngle，假定運動的角度為θ，此時運動點在X處，通過三角函數知識可以得到：

AM = MB = OA  Math.sin(vAngle/2)  = r   Math.sin(vAngle/2) ;
 其中r為半徑
OM = OA  Math.cos(vAngle/2) =  r   Math.cos(vAngle/2) ;
因此可以算出
XM = OM * Math.tan(vAngle/2 - θ)，
最終可以計算出AX的長度為
AX = AM - XM =  r   Math.sin(vAngle/2) - r   Math.cos(vAngle/2) *Math.tan(vAngle/2 - θ)

通過以上計算公式，可以計算出基于角度的線性插值的插值因子 s = AX/AB。 帶入插值因子，結合向量的線性插值即可實現角度均勻的動畫效果,代碼如下：

function animateVector3(){
        var a = i / count;
        var vAngle = v1.angleTo(v2); // 通過向量計算夾角
        var stepAngle = a * vAngle; // 
        var halfLength = r * Math.sin(vAngle/2);
        var stepLength = halfLength - r * Math.cos(vAngle/2)* Math.tan(vAngle/2 - stepAngle);
        a = stepLength / (halfLength * 2); // 弧線到直線上的映射關系：0.5 - Math.cos(vAngle/2)* Math.tan(vAngle/2 - stepAngle) / ( Math.sin(vAngle/2) * 2)
        // a = 0.5 - Math.cos(vAngle/2)* Math.tan(vAngle/2 - stepAngle) / ( Math.sin(vAngle/2) * 2);
        var v = new Vec2().lerpVectors(v1,v2,a); //向量插值
        v.setLength(r);
        i ++;
        if(i > count){
            i = 0;
        }  
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(cx,cy);
        ctx.lineTo(v.x + cx,v.y + cy);
        ctx.strokeStyle = "orange";
        ctx.stroke();
      }

下面這段轉換代碼可以達到角度適配的效果，此處列出代碼，不進行說明，有興趣的讀者，可以自己研究。可以看出，稍顯復雜。

 var i = 0,count = 200;
 var PI = Math.PI;
function animateAngle2() {
          var angleStart,angleEnd;
          if(Math.sign(angle1) == Math.sign(angle2)){
              return animateAngle();
          }else{
              if(angle1 < 0 && angle1 +2*PI > angle2 + PI){
                  return animateAngle();
              }else if(angle2 < 0 && angle2 +2*PI > angle1 + PI){
                  return animateAngle();
              }else if(angle1 < 0){
                  angleStart = angle1 + 2 * PI;
                  angleEnd = angle2;
              }else{
                  angleStart = angle1;
                  angleEnd = angle2 + 2 * PI;
              }
          }
       
           var angle = (angleStart * (count-i) + angleEnd * (i)) / count;
           var x = cx + Math.cos(angle) * r,
                y = cy + Math.sin(angle) * r;
            ctx.beginPath();
            ctx.moveTo(cx,cy);
            ctx.lineTo(x,y);
            ctx.strokeStyle = "red";
            ctx.stroke();
            i ++;
            if(i > count){
                i = 0;
            }
      }

上面解決了圓環的情況，如果是球面的情況，如果是通過角度轉換的方式，則非常復雜。
而通過向量的方式：

向量解決方案一和向量解決方案三，可以平滑的移植到球面運動的情況，復雜度并沒有提高。

向量解決方案二，需要做一些的調整，才可以方便的移植到球面的情況，這里面涉及到一些坐標系變換的知識，稍微復雜，此處不講述。 有興趣的同學，可以留言點贊。 如果有很多人希望了解，我會在寫一篇文章來講解這個問題。

當然 如果學過三維的同學一定知道四元數的相關知識,通過四元數可以很方便的實現球面插值，這超過本文的范圍，不講述，有興趣的同學自己了解吧。

可以看出：
通過角度轉換的方式來實現圓環或者球面上面的動畫，要適配很多情況，比較復雜。
而通過向量來實現圓環或者球面上面的動畫，會變得簡單和容易理解。

這也是為什么當時同事J自己研究了一上午也沒有做出來，實現的效果，總是一會兒行，一會兒不行。而他在理解了向量的解決方案之后，10分鐘便寫出了健壯的動畫效果代碼。

關注公眾號留言獲取。

歡迎關注公眾號“ITman彪叔”。彪叔，擁有10多年開發經驗，現任公司系統架構師、技術總監、技術培訓師、職業規劃師。熟悉Java、JavaScript、Python語言，熟悉數據庫。熟悉java、nodejs應用系統架構，大數據高并發、高可用、分布式架構。在計算機圖形學、WebGL、前端可視化方面有深入研究。對程序員思維能力訓練和培訓、程序員職業規劃有濃厚興趣。