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別人家的面試題:統(tǒng)計“1”的個數(shù)

SQC / 1117人閱讀

摘要:長話短說,讓我們來看一道題統(tǒng)計的個數(shù)給定一個非負整數(shù),對于任意,,計算的值對應的二進制數(shù)中的個數(shù),將這些結果返回為一個數(shù)組。第二版本的時間復雜度是最后版本的時間復雜度是,是的二進制數(shù)中的的個數(shù),介于之間。

小胡子哥@Barret李靖給我推薦了一個寫算法刷題的地方leetcode.com,沒有ACM那么難,但題目很有趣。而且據(jù)說這些題目都來源于一些公司的面試題。好吧,解解別人公司的面試題其實很好玩,既能整理思路鍛煉能力,又不用擔心漏題 ╮(╯▽╰)╭。

長話短說,讓我們來看一道題:

統(tǒng)計“1”的個數(shù)

給定一個非負整數(shù)num,對于任意i,0 ≤ i ≤ num,計算i的值對應的二進制數(shù)中“1” 的個數(shù),將這些結果返回為一個數(shù)組。

例如:

當num = 5時,返回值為[0,1,1,2,1,2]。

/** 
  * @param {number} num 
  * @return {number[]} 
  * /
var countBits = function(num) {
    //在此處實現(xiàn)代碼
};
解題思路

這道題咋一看還挺簡單的,無非是:

實現(xiàn)一個方法countBit,對任意非負整數(shù)n,計算它的二進制數(shù)中“1”的個數(shù)

循環(huán)i從0到num,求countBit(i),將值放在數(shù)組中返回。

JavaScript中,計算countBit可以取巧:

function countBit(n){
    return n.toString(2).replace(/0/g,"").length;
} 

上面的代碼里,我們直接對n用toString(2)轉成二進制表示的字符串,然后去掉其中的0,剩下的就是“1”的個數(shù)。

然后,我們寫一下完整的程序:

function countBit(n){
    return n.toString(2).replace(/0/g,"").length;
}
function countBits(nums){
    var ret = [];?? 
    for(var i = 0; i <= nums; i++){
        ret.push(countBit(i));
    }
    return ret;
} 

上面這種寫法十分討巧,好處是countBit利用JavaScript語言特性實現(xiàn)得十分簡潔,壞處是如果將來要將它改寫成其他語言的版本,就有可能懵B了,它不是很通用,而且它的性能還取決于Number.prototype.toString(2)和String.prototype.replace的實現(xiàn)。

所以為了追求更好的寫法,我們有必要考慮一下countBit的通用實現(xiàn)法。

我們說,求一個整數(shù)的二進制表示中“1”的個數(shù),最普通的當然是一個O(logN) 的方法:

function countBit(n){
    var ret = 0;
    while(n > 0){
        ret += n & 1;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

這么實現(xiàn)也很簡潔不是嗎?但是這么實現(xiàn)是否最優(yōu)?建議此處思考10秒鐘再往下看。

更快的countBit

上一個版本的countBit的時間復雜度已經是O(logN) 了,難道還可以更快嗎?當然是可以的,我們不需要去判斷每一位是不是“1”,也能知道n的二進制中有幾個“1”。

有一個訣竅,是基于以下一個定律:

對于任意 n, n ≥ 1,有如下等式成立:

countBit(n & (n - 1)) === countBit(n) - 1

這個很容易理解,大家只要想一下,對于任意n,n – 1的二進制數(shù)表示正好是n的二進制數(shù)的最末一個“1”退位,因此n & n – 1正好將n的最末一位“1”消去,例如:

6的二進制數(shù)是110,?5 = 6 – 1的二進制數(shù)是101,6 & 5的二進制數(shù)是110 & 101 == 100

88的二進制數(shù)是1011000,87 = 88 – 1的二進制數(shù)是 1010111,88 & 87的二進制數(shù)是1011000 & 1010111 == 1010000

于是,我們有了一個更快的算法:

function countBit(n){
    var ret = 0;
    while(n > 0){
        ret++;
        n &= n - 1;
    }
    return ret;
}
function countBits(nums){
    var ret = [];
    for(var i = 0; i <= nums; i++){
        ret.push(countBit(i));
    }
    return ret;
}

上面的countBit(88)只循環(huán)3次,而上一版本的countBit(88)卻需要循環(huán)7次。

優(yōu)化到了這個程度,是不是一切都結束了呢?從算法上來說似乎已經是極致了?真的嗎?再給大家 30 秒時間思考一下,然后再往下看。

countBits的時間復雜度

考慮countBits, 上面的算法:

最初版本的時間復雜度是O(N*M),M取決于Number.prototype.toString和String.prototype.replace的復雜度。

第二版本的時間復雜度是O(N*logN)

最后版本的時間復雜度是O(N*M),M是N的二進制數(shù)中的“1”的個數(shù),介于1 ~ logN之間。

上面三個版本的countBits的時間復雜度都大于O(N)。那么有沒有時間復雜度O(N)的算法呢?

實際上,最后版本已經為我們提示了答案,答案就在上面的那個定律里,我把那個等式再寫一遍:

countBit(n & (n - 1)) === countBit(n) - 1

也就是說,如果我們知道了countBit(n & (n - 1)),那么我們也就知道了countBit(n)

而我們知道countBit(0)的值是 0,于是,我們可以很簡單的遞推:

function countBits(nums){
    var ret = [0];
    for(var i = 1; i <= nums; i++){
        ret.push(ret[i & i - 1] + 1);
    }
    return ret;
}

原來就這么簡單,你想到了嗎 ╮(╯▽╰)╭

以上就是所有的內容,簡單的題目思考起來很有意思吧?程序員就應該追求完美的算法,不是嗎?

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