從“數(shù)學(xué)歸納法”到理解“遞歸算法”！

oogh 發(fā)布于2019-08-16 17:05 / 713人閱讀

摘要：前言相信大家在面試或者工作中偶爾會(huì)遇到遞歸算法的提問(wèn)或者編程，我們今天來(lái)聊一聊從數(shù)學(xué)歸納法到理解遞歸算法。這種廣義的數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用于數(shù)學(xué)邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，稱作結(jié)構(gòu)歸納法。

每章一點(diǎn)正能量：人的一生可能燃燒也可能腐朽。

前言

相信大家在面試或者工作中偶爾會(huì)遇到遞歸算法的提問(wèn)或者編程，我們今天來(lái)聊一聊從數(shù)學(xué)歸納法到理解遞歸算法。如有錯(cuò)誤還請(qǐng)大家及時(shí)指出~

本文已同步至 GitHub/Gitee/公眾號(hào)，感興趣的同學(xué)幫忙點(diǎn)波關(guān)注~

1. 數(shù)學(xué)歸納法 1.1 簡(jiǎn)介

來(lái)源百度百科

數(shù)學(xué)歸納法（Mathematical Induction, MI）是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立。除了自然數(shù)以外，廣義上的數(shù)學(xué)歸納法也可以用于證明一般良基結(jié)構(gòu)，例如：集合論中的樹。這種廣義的數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用于數(shù)學(xué)邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，稱作結(jié)構(gòu)歸納法。在數(shù)論中，數(shù)學(xué)歸納法是以一種不同的方式來(lái)證明任意一個(gè)給定的情形都是正確的（第一個(gè),第二個(gè)，第三個(gè)，一直下去概不例外）的數(shù)學(xué)定理。雖然數(shù)學(xué)歸納法名字中有“歸納”，但是數(shù)學(xué)歸納法并非不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臍w納推理法，它屬于完全嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理法。事實(shí)上，所有數(shù)學(xué)證明都是演繹法。

自然數(shù)是指表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)，即由0開始，0，1，2，3，4，……一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無(wú)窮的集體，即指非負(fù)整數(shù)。

1.2 推演步驟

簡(jiǎn)單了解數(shù)學(xué)歸納法的概念后，我們來(lái)看看數(shù)學(xué)歸納法的推演步驟。

我們知道數(shù)學(xué)歸納法用來(lái)證明任意一個(gè)給定的情形都是正確的，也就是說(shuō)，第一個(gè)，第二個(gè)，一直到所有情形，概不例外。

其證明步驟如下：

證明基本情況（通常是N = 1 的時(shí)候）是否成立。

證明對(duì)于N=1成立。我們只需要先從最小的自然數(shù)開始證明。這一步通常非常簡(jiǎn)單。關(guān)鍵是證明第二步。

證明N > 1 時(shí)，假設(shè) N - 1 成立，那么對(duì)于N成立（N為任意大于1的自然數(shù)）。

這一步并不是直接證明的，而是假設(shè)N-1成立，利用這個(gè)結(jié)論推出N是成立的。如果能夠推出的話，就可以說(shuō)：對(duì)于所有的自然數(shù)都成立。因?yàn)樽C明了對(duì)1成立，那么對(duì)2成立，對(duì)3也成立。那么就證明了對(duì)所有自然數(shù)都成立。
我們會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法它很合適用來(lái)證明，例如常見(jiàn)的等差、等比、以及平方、立方數(shù)列的求和等等。

1.3 小栗子

我們來(lái)舉一個(gè)小栗子，回顧下我們高中時(shí)期所學(xué)的數(shù)學(xué)歸納法是如何進(jìn)行證明。

例子：

證明： 1+2+3+...+n = n(n+1)/2

我們來(lái)將上面 1.2 推演步驟 用起來(lái)。

第一步：證明基本情況（通常是N = 1 的時(shí)候）是否成立。

我們把N=1同時(shí)代入等號(hào)左邊和右邊，得

1 = 1*(1+1)/2

成立！

第二步：證明N > 1 時(shí)，假設(shè) N - 1 成立，那么對(duì)于N成立（N為任意大于1的自然數(shù)）。

這里我們需要分兩步。

① 假設(shè)對(duì)于N-1的情況下成立

我們依然將N-1同時(shí)代入等號(hào)的左邊和右邊，得：

1+2+3+...+(n-1) = (n-1)n/2

② 將假設(shè)結(jié)論代入，同時(shí)加N

我們假設(shè)N-1是成立的，那么我們?cè)诘忍?hào)左邊與右邊同時(shí)加N，肯定也是成立的,得：

 1+2+3...+(n-1)+n = (n-1)n/2+n

化簡(jiǎn)右邊得：n(n+1)/2，那么我們最后證明的結(jié)果就是成立的！

即：1+2+3+...+n = n(n+1)/2 成立。通過(guò)以上步驟，我們可以證明這個(gè)公式是成立的。

1.4 小結(jié)

歸納法適用于想解決一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解決他的子問(wèn)題，而他的子問(wèn)題又變成子問(wèn)題的子問(wèn)題，而且我們發(fā)現(xiàn)這些問(wèn)題其實(shí)都是一個(gè)模型，也就是說(shuō)存在相同的邏輯歸納處理項(xiàng)。

接下來(lái)我們來(lái)看看，我們寫程序和數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)聯(lián)。

2. 遞歸

說(shuō)起遞歸算法，其實(shí)我們每個(gè)開發(fā)人員都肯定聽過(guò)或者寫過(guò)。記得我最開始接觸遞歸算法的時(shí)候，還是大一學(xué)習(xí)譚浩強(qiáng)老師寫的那本C語(yǔ)言時(shí)，里面介紹了遞歸算法。給我的印象就是：自己調(diào)用自己。后來(lái)在工作中，用到的地方也不多，印象中只有一次寫級(jí)聯(lián)菜單的時(shí)候用到了遞歸算法。（是不是我寫的代碼太水，大家也可以說(shuō)說(shuō)哪里用到過(guò)遞歸算法）本章就來(lái)通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法來(lái)回顧下我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)的遞歸算法。

2.1 理解遞歸

遞歸的基本思想:以此類推

具體來(lái)講就是把規(guī)模大的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為規(guī)模小的相似的子問(wèn)題來(lái)解決。在函數(shù)實(shí)現(xiàn)時(shí)，因?yàn)榻鉀Q大問(wèn)題的方法和解決小問(wèn)題的方法往往是同一個(gè)方法，所以就產(chǎn)生了函數(shù)調(diào)用它自身的情況。另外這個(gè)解決問(wèn)題的函數(shù)必須有明顯的結(jié)束條件，這樣就不會(huì)產(chǎn)生無(wú)限遞歸的情況了。仔細(xì)觀察遞歸，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：遞歸的數(shù)學(xué)模型其實(shí)就是歸納法。

2.2 遞歸條件

我們?cè)谑褂眠f歸的時(shí)候需要滿足一些基本條件，如果不滿足的話，就有可能出現(xiàn)無(wú)限遞歸，最后會(huì)導(dǎo)致堆棧溢出了。

滿足條件：

嚴(yán)格定義遞歸函數(shù)作用，包括參數(shù)，返回值，其他變量。

先一般情況，后特殊情況。

有退出條件。在一般情況下，能讓遞歸正常退出的條件。

每次調(diào)用必須縮小問(wèn)題規(guī)模，且新問(wèn)題與原問(wèn)題有著相同的形式，即規(guī)律。

上面的條件一環(huán)扣一環(huán)，也可以縮減成兩個(gè)主要條件：有規(guī)律,有退出條件。我們以上面的條件，來(lái)結(jié)合案例進(jìn)行理解。

2.3 小栗子 2.3.1 遞歸求和

例題：

1+2+3+...+n=?

第一步： 嚴(yán)格定義遞歸函數(shù)作用，包括參數(shù)，返回值，其他變量。

我們初看題目，可以知道這是一個(gè)簡(jiǎn)單的求和，即從1開始：1+2+3+...一直加到n。所以我們可以定義一個(gè)入?yún)閚,返回值類型為int的一個(gè)方法，既然是遞歸求和，我們的方法名就叫recursionSum。

public static int recursionSum(int n) { //為了方便調(diào)用，我用了static
    
    return 0;
}

System.out.println("公眾號(hào)：Coder編程：" + recursionSum(0));

那么我們第一步就做完了。

第二步： 先一般情況，后特殊情況。

我們先用一般的情況進(jìn)行求和計(jì)算，例如代入1,2,3這樣的一般情況。即：

public static int recursionSum(int n) { 
    if(n == 1) {
        return 1;
    }
    
    if(n == 2) {
        return 1+2;
    }
    
    if(n == 3) {
        return 1+2+3;
    }
    return 0;
}

System.out.println("公眾號(hào)：Coder編程：" + recursionSum(3));

第三步： 有退出條件。在一般情況下，能讓遞歸正常退出的條件。

其實(shí)，我們做完第二步，就會(huì)發(fā)現(xiàn)已經(jīng)把第三步做完了。即有了讓遞歸正常退出的條件！

第四步： 每次調(diào)用必須縮小問(wèn)題規(guī)模，且新問(wèn)題與原問(wèn)題有著相同的形式，即規(guī)律。

這一步是最關(guān)鍵的，也是最核心的！我們需要找到其規(guī)律，并且能縮小問(wèn)題的規(guī)模。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們需要求第N個(gè)數(shù)的和的時(shí)候，我們必須知道前N-1個(gè)數(shù)的和，即 sum(N-1)。前N個(gè)數(shù)的和就是sum(N-1)+N。找到這個(gè)規(guī)律后，我們就可以定義一個(gè)臨時(shí)變量sum來(lái)接收前N個(gè)數(shù)的和了。

public static int recursionSum(int n) {

    if(n == 1) {
        return 1;
    }
    
    if(n == 2) {
        return 1+2;
    }
    
    if(n == 3) {
        return 1+2+3;
    }
    
    int sum = recursionSum(n-1)+n;
    return sum;
}

System.out.println("公眾號(hào)：Coder編程：前5個(gè)數(shù)的和" + recursionSum(5));

輸出結(jié)果：15

我們優(yōu)化一下：

public static int recursionSum(int n) {

    if (n < 0){
       throw new Exception("參數(shù)不能為負(fù)！");
    }
    if(n == 1) {
        return 1;
    }
    
    return recursionSum(n-1)+n;
}

System.out.println("公眾號(hào)：Coder編程：前5個(gè)數(shù)的和" + recursionSum(5));

是不是突然發(fā)現(xiàn)遞歸其實(shí)也沒(méi)想的那么難？

2.3.2 舉一反三？

接下來(lái)我們難度進(jìn)行升級(jí)！看大家能不能都理解了。我就不像上面求和那么啰嗦了！

2.3.2.1 求階乘

例題：求n的階乘（n>1，n是正整數(shù)）

階乘的遞推公式為：factorial(n)=n*factorial(n-1)，其中n為非負(fù)整數(shù),且0!=1,1!=1
這里就不做過(guò)多說(shuō)明，跟求后過(guò)程一致，可以模仿求和的過(guò)程，大家可以先自己嘗試寫下，下面我直接貼代碼了：

public static int factorial(int n) throws Exception {
    if (n < 0){
        throw new Exception("參數(shù)不能為負(fù)！");
    }else if (n == 1 || n == 0) {
        return 1;
    }else {
        return n * factorial(n - 1);
    }
}

System.out.println("公眾號(hào)：Coder編程：3的階乘:" + factorial(3));

輸出結(jié)果： 公眾號(hào)：Coder編程：3的階乘:6

2.3.2.2 斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列 我想大家同樣熟悉了解，下面我們繼續(xù)回顧一下斐波那契數(shù)列到底是什么？

斐波那契數(shù)列: 1、1、2、3、5、8、13、21.....

可以看出從第三位起：第三項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和。總結(jié)遞推公式：:Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)。所以我們可以將前兩位作為退出遞歸的條件。即：if(n==1) retrun 1 if(n==2) return 1

因此我們可以直接用公式（規(guī)律）和退出條件，寫出編程代碼：

public static int fib(int n) throws Exception {
    if (n < 0) {
        throw new Exception("參數(shù)不能為負(fù)！");
    }else if (n == 0 || n == 1){
        return n;
    }else {
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
}

System.out.println("公眾號(hào)：Coder編程：斐波那契數(shù)列:" + fib(3));

2.3.2.3 漢諾塔問(wèn)題

相傳在古印度圣廟中，有一種被稱為漢諾塔(Hanoi)的游戲。該游戲是在一塊銅板裝置上，有三根桿(編號(hào)A、B、C)，在A桿自下而上、由大到小按順序放置不同個(gè)數(shù)的金盤(如下圖)。

游戲的目標(biāo)：把A桿上的金盤全部移到C桿上，并仍保持原有順序疊好。

操作規(guī)則：每次只能移動(dòng)一個(gè)盤子，并且在移動(dòng)過(guò)程中三根桿上都始終保持大盤在下，小盤在上，操作過(guò)程中盤子可以置于A、B、C任一桿上。

在總結(jié)規(guī)律和寫代碼之前，我們先來(lái)玩幾把簡(jiǎn)單的（先一般后特殊）：

注：我們以數(shù)字的大小作為盤子的大小。

一個(gè)盤子的情況：

1.1 將A柱子的1號(hào)盤子直接移動(dòng)到C柱子中。
1.2 結(jié)束。

兩個(gè)盤子的情況：

2.1 將A柱子的1號(hào)盤子移動(dòng)到B柱子。
2.2 將A柱子的2號(hào)盤子移動(dòng)到C柱子。
2.3 將B柱子的1號(hào)盤子移動(dòng)到C柱子。
2.4 結(jié)束。

三個(gè)盤子的情況：

3.1 將A柱子的1號(hào)盤子移動(dòng)到C柱子。
3.2 將A柱子的2號(hào)盤子移動(dòng)到B柱子。
3.3 將C柱子的1號(hào)盤子移動(dòng)到B柱子。
3.4 將A柱子的3號(hào)盤子移動(dòng)到C柱子。
3.5 將B柱子的1號(hào)盤子移動(dòng)到A柱子。
3.6 將B柱子的2號(hào)盤子移動(dòng)到C柱子。
3.7 將A柱子的1號(hào)盤子移動(dòng)到C柱子。
3.8 結(jié)束。

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，隨著盤子數(shù)量的增加，盤子移動(dòng)的難度也開始加大。

這時(shí)候不要害怕，我們回過(guò)頭再來(lái)看這個(gè)問(wèn)題：當(dāng)盤子的數(shù)量是4個(gè)、5個(gè)...N個(gè)的時(shí)候，我們?cè)撊绾谓鉀Q呢？我們是不是可以用數(shù)學(xué)歸納法的思想或者遞歸的思想去解決呢？答案是：肯定的。這時(shí)候我們需要去找到他們的規(guī)律在哪？

我們?cè)儆^察下上面在一般情況下移動(dòng)盤子的規(guī)律在哪？

1.當(dāng)只有一個(gè)盤子的時(shí)候，可以將盤子直接移動(dòng)到目標(biāo)柱子C中。即退出條件。

2.當(dāng)只有兩個(gè)盤子的時(shí)候，我們只需要將B柱子作為中介，將盤子1先放到中介柱子B上，然后將盤子2放到目標(biāo)柱子C上，最后將中介柱子B上的盤子放到目標(biāo)柱子C上即可。

第二點(diǎn)可以看成：當(dāng)我們有N個(gè)盤子的時(shí)候，第N個(gè)盤子看成一個(gè)盤子，(N-1)個(gè)盤子看做成一個(gè)盤子。需要將(N-1)個(gè)盤子放在中介柱子B上，N個(gè)盤子放在目標(biāo)柱子C即可。即規(guī)律。

當(dāng)我們有三個(gè)盤子的時(shí)候，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題： 角色變化

將A塔座的第(N-1)~1個(gè)盤子看成是一個(gè)盤子，放到中柱子B上，然后將第N個(gè)盤子放到目標(biāo)柱子C上。這時(shí)候柱子A空了!柱子A成為中介柱子，柱子B成為起始柱子。

柱子B這時(shí)候有N-1個(gè)盤子，將第(N-2)~1個(gè)盤子看成是一個(gè)盤子，放到中介柱子A上，然后將柱子B的第(N-1)號(hào)盤子放到目標(biāo)柱子C上。這時(shí)候柱子B空了!柱子B又成為了中介柱子，A成為了起始柱子!

重復(fù)1、2步驟，直到所有盤子都放到目標(biāo)塔座C上結(jié)束。

總結(jié)一下：

從初始柱子A上移動(dòng)包含n-1個(gè)盤子到中介柱子B上。

將初始柱子A上剩余的一個(gè)盤子（最大的一個(gè)盤子）放到目標(biāo)柱子C上。

將中介柱子B上n-1個(gè)盤子移動(dòng)到目標(biāo)柱子C上。

move(3,"A","B","C");

/**
 * 漢諾塔問(wèn)題
 * @param dish 盤子個(gè)數(shù)(也表示名稱)
 * @param from 初始柱子
 * @param temp 中介柱子
 * @param to   目標(biāo)柱子
 */
public static void move(int dish,String from,String temp,String to){
    if(dish == 1){
        System.out.println("將盤子"+dish+"從柱子"+from+"移動(dòng)到目標(biāo)柱子"+to);
    }else{
        move(dish-1,from,to,temp);//A為初始柱子，B為目標(biāo)柱子，C為中介柱子
        System.out.println("將盤子"+dish+"從柱子"+from+"移動(dòng)到目標(biāo)柱子"+to);
        move(dish-1,temp,from,to);//B為初始柱子，C為目標(biāo)柱子，A為中介柱子
    }
}

move(dish-1,from,to,temp);//A為初始柱子，B為目標(biāo)柱子，C為中介柱子

這里需要將n-1之前的盤子都放到B柱子上，最后第n個(gè)盤子放到C柱子。

move(dish-1,temp,from,to);//B為初始柱子，C為目標(biāo)柱子，A為中介柱子

這時(shí)候B變?yōu)榱顺跏贾?，A成為了目標(biāo)柱子。將之前n-1個(gè)盤子放到C目標(biāo)柱子中。

打印結(jié)果：

文末

本章節(jié)主要簡(jiǎn)單介紹了數(shù)學(xué)歸納法與遞歸算法的一些思想。希望對(duì)大家有所幫助！
今后我會(huì)在每張文章開頭增加 每章一點(diǎn)正能量 ，文末增加5個(gè)編程相關(guān)的英語(yǔ)單詞 學(xué)點(diǎn)英語(yǔ)。希望大家和我一樣每天都能積極向上，一起學(xué)習(xí)一同進(jìn)步！

學(xué)點(diǎn)英語(yǔ)

JRE Java Runtime Environment（Java運(yùn)行環(huán)境），運(yùn)行 JAVA程序所必須的環(huán)境的集合，包含JVM標(biāo)準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)及Java核心類庫(kù)。

JSDK Java Software Development Kit，和JDK以及J2SE 等同。

JDK Java Development Kit(Java開發(fā)工具包):包括運(yùn)行環(huán)境、編譯工具及其它工具、源代碼等，基本上和J2SE等同。

J2ME Java 2 Micro Edition（JAVA2精簡(jiǎn)版）API規(guī)格基于J2SE ，但是被修改為可以適合某種產(chǎn)品的單一要求。J2ME使JAVA程序可以很方便的應(yīng)用于電話卡、尋呼機(jī)等小型設(shè)備，它包括兩種類型的組件，即配置（configuration）和描述（profile）。

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參考文章：

https://www.cnblogs.com/ysoce...

http://www.nowamagic.net/libr...

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