Leetcode 4 Median of Two Sorted Arrays 兩排序數(shù)組的中位數(shù)

wudengzan 發(fā)布于2019-08-14 17:05 / 2621人閱讀

摘要：難度為這個(gè)題目描述很清晰給出兩個(gè)排序好的數(shù)組求這兩個(gè)數(shù)組的中位數(shù)在解這個(gè)題的過(guò)程中會(huì)碰到以下的問(wèn)題先合起來(lái)重新排序是不可行的時(shí)間復(fù)雜度太高為先歸并排序也是不可行的時(shí)間復(fù)雜度為用類似桶排的方法時(shí)間復(fù)雜度為不可行可能會(huì)碰到多種全部大于或全部小于

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.
Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).
Example 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
The median is 2.0
Example 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
The median is (2 + 3)/2 = 2.5

難度為Hard.

這個(gè)題目描述很清晰, 給出兩個(gè)排序好的數(shù)組, 求這兩個(gè)數(shù)組的中位數(shù). 在解這個(gè)題的過(guò)程中, 會(huì)碰到以下的問(wèn)題:

先合起來(lái)重新排序是不可行的, 時(shí)間復(fù)雜度太高, 為O((m+n)log(m+n))

先歸并排序也是不可行的, 時(shí)間復(fù)雜度為O(m+n)

用類似桶排的方法時(shí)間復(fù)雜度為O(m+n), 不可行

可能會(huì)碰到多種case, nums1全部大于或全部小于nums2(1,2,3 4,5,6), nums1和nums2交錯(cuò)(2,4,6 1,3,5), 最大最小都屬于其中一個(gè)序列(1,10 3,4,5), 等等

總數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的處理可能會(huì)不太一樣

中位數(shù), 或者中位點(diǎn)旁邊的兩個(gè)數(shù), 可能都位于某個(gè)數(shù)組, 也可能各自分布在兩個(gè)數(shù)組中.

題目中給定的復(fù)雜度, 只能用二分查找的方法, 但是怎么在兩個(gè)數(shù)組上應(yīng)用呢? 我有兩種通過(guò)的方法.

第一種的思路是:

假定中位數(shù)兩邊的數(shù)是L, R. 對(duì)總數(shù)為奇數(shù)的情況, L=R.

假定L或者R在nums1中, 按二分查找定位.

二分查找的中點(diǎn)游標(biāo)為P, 在nums1中, 我們知道比P小, 比P大的有多少, 我們還需要知道, 在nums2中, P處于什么位置

給定P, 在nums2中二分查找, 找到比P大, 比P小的元素?cái)?shù)目.

這樣在兩個(gè)數(shù)組中, 比P大的數(shù)目n1和比P小的數(shù)目n2就確定了.

我們可以調(diào)整P的位置, 直到找到L和R的值為止

由于L和R可能位于nums1或者nums2中, 所以還需要假定L或R在nums2中的情況再做一次. 同樣有些細(xì)節(jié)問(wèn)題需要解決.

最終程序如下:

public class Solution {

    /**
     * AC Time Complexity: O(logm*logn)
     */
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int l1 = nums1.length;
        int l2 = nums2.length;
        if (l1 == 0) {
            if (l2 % 2 == 1) {
                return nums2[l2 / 2];
            } else {
                return ((double) nums2[l2 / 2] + nums2[l2 / 2 - 1]) / 2;
            }
        }
        if (l2 == 0) {
            if (l1 % 2 == 1) {
                return nums1[l1 / 2];
            } else {
                return ((double) nums1[l1 / 2] + nums1[l1 / 2 - 1]) / 2;
            }
        }
        List retList = new ArrayList();
        getMidLR(nums1, nums2, retList);
        getMidLR(nums2, nums1, retList);
        if (retList.size() == 0) {
            if (l2 % 2 == 1) {
                return nums2[l2 / 2];
            } else {
                return ((double) nums2[l2 / 2] + nums2[l2 / 2 - 1]) / 2;
            }
        }
        Integer sum = 0;
        for (Integer r : retList) {
            sum += r;
        }
        return (double) sum / retList.size();
    }

    public void getMidLR(int[] nums1, int[] nums2, List ret) {
        Integer midL = null;
        Integer midR = null;
        int m = nums1.length;
        int n = nums2.length;
        int l = 0;
        int r = m - 1;
        int p = m / 2;
        while (true) {
            int numSmall = 0;
            int numBig = 0;
            int tl = 0;
            int tr = n - 1;
            int tp = n / 2;
            int curVal = nums1[p];
            while (true) {
                if (tp == 0) {
                    if (nums2[0] > curVal) {
                        numSmall = 0;
                        numBig = n;
                        break;
                    } else if (nums2[0] == curVal) {
                        numSmall = 0;
                        numBig = n - 1;
                        break;
                    }
                }
                if (tp == n - 1) {
                    if (nums2[n - 1] < curVal) {
                        numSmall = n;
                        numBig = 0;
                        break;
                    } else if (nums2[n - 1] == curVal) {
                        numSmall = n - 1;
                        numBig = 0;
                        break;
                    }

                }
                if (nums2[tp] == curVal) {
                    numSmall = tp;
                    numBig = n - tp - 1;
                    break;
                }
                if (nums2[tp] < curVal && curVal < nums2[tp + 1]) {
                    numSmall = tp + 1;
                    numBig = n - tp - 1;
                    break;
                }
                if (tl == tr) {
                    break;
                }
                if (nums2[tp] > curVal) {
                    // tp move left
                    tr = tp;
                    tp = (tl + tr) / 2;
                } else {
                    // tp move right
                    tl = tp;
                    tp = (tl + tr) / 2;
                    if (tl == tp && tl < tr) {
                        tl++;
                        tp++;
                    }
                }
            }// end inner while
            int s = numSmall + p;
            int b = numBig + m - p - 1;
            if (s == b) {
                midL = midR = curVal;
                break;
            }

            if (s == (b + 1)) {
                midR = curVal;

            } else if ((s + 1) == b) {
                midL = curVal;

            }

            if (midL != null && midR != null) {
                break;
            }
            // move p
            if (l == r) {
                break;
            }
            if (s > b) {
                // p move left
                r = p;
                p = (l + r) / 2;
            } else {
                // p move right
                l = p;
                p = (l + r) / 2;
                if (l == p && l < r) {
                    l++;
                    p++;
                }
            }
        }
        if (midL != null) {
            ret.add(midL);
        }
        if (midR != null) {
            ret.add(midR);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Solution s = new Solution();
        int[] nums11 = { 1, 3 };
        int[] nums12 = { 2 };
        System.out.println(s.findMedianSortedArrays(nums12, nums11));
        int[] nums21 = { 1, 2 };
        int[] nums22 = { 3, 4 };
        System.out.println(s.findMedianSortedArrays(nums22, nums21));
        int[] nums31 = { 1, 2, 3 };
        int[] nums32 = { 3, 4 };
        System.out.println(s.findMedianSortedArrays(nums32, nums31));
        int[] nums41 = {};
        int[] nums42 = { 1 };
        System.out.println(s.findMedianSortedArrays(nums41, nums42));
        int[] nums51 = { 1, 2 };
        int[] nums52 = { 1, 2 };
        System.out.println(s.findMedianSortedArrays(nums51, nums52));
    }
}

但問(wèn)題是, 這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度是O(logm*logn), 雖然能AC, 但比題目中要求的O(log(m+n))要高.

這里還有第二種解法:
因?yàn)槿绻謩e做二分的話, 必然會(huì)是O(logm*logn)的復(fù)雜度, 要達(dá)到題目中要求的復(fù)雜度, 需要兩個(gè)數(shù)組一起做二分.

如下實(shí)現(xiàn)一個(gè)方法找兩個(gè)數(shù)組中第n大的數(shù):
假定需要找nums1的下標(biāo)(s1,e1)范圍內(nèi)nums2的下標(biāo)(s2,e2)范圍內(nèi)的第n個(gè)大小的數(shù), 我們先把nums1和nums2各自的中點(diǎn)p1, p2 找出:

假定p1元素>=p2元素, 否則把nums1和nums2交換位置.

對(duì)于圖中黃色的部分, 即s1~p1, s2~p2, 肯定是小于等于p1元素的, 這兩塊元素的數(shù)目可以求出, 定義為lmargin, 如果nth<=lmargin, 那么第nth元素必然小于p1元素, p1右邊的元素可以拋棄.

問(wèn)題就變成找上圖的第nth元素

同樣的, 依照類似的想法,

如果p1~e1, p2~e2這兩部分元素的數(shù)目, 大于(元素總數(shù)-nth), 這就說(shuō)明, 第nth元素, 是大于p2元素的. p2以前這塊, s2~p2是可以被拋棄的.

問(wèn)題就變成, 找上圖的第nth - (p2 - s2) 個(gè)元素.
如此可以迭代下去, 到其中一對(duì)游標(biāo)相遇的時(shí)候, 就很好解決了.

如上, 找到第n大的數(shù), 問(wèn)題就等于是解決了. 可以順利找到中位數(shù).

基本思路是這樣, 還有些細(xì)節(jié)問(wèn)題需要解決.

AC的代碼如下:

public class Solution2 {
    /**
     * AC Time Complexity: O(log(m+n))
     */
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int l1 = nums1.length;
        int l2 = nums2.length;
        // judge for empty conditions
        if (l1 == 0) {
            if (l2 % 2 == 1) {
                return nums2[l2 / 2];
            } else {
                return ((double) nums2[l2 / 2] + nums2[l2 / 2 - 1]) / 2;
            }
        }
        if (l2 == 0) {
            if (l1 % 2 == 1) {
                return nums1[l1 / 2];
            } else {
                return ((double) nums1[l1 / 2] + nums1[l1 / 2 - 1]) / 2;
            }
        }
        boolean isOdd = (l1 + l2) % 2 == 1;
        if (isOdd) {
            // if odd, just return the center one
            return findNth(nums1, 0, l1 - 1, nums2, 0, l2 - 1, (l1 + l2) / 2 + 1);
        } else {
            // if even, return the average of the center two
            return ((double) findNth(nums1, 0, l1 - 1, nums2, 0, l2 - 1, (l1 + l2) / 2)
                    + (double) findNth(nums1, 0, l1 - 1, nums2, 0, l2 - 1, (l1 + l2) / 2 + 1)) / 2;
        }
    }

    public int findNth(int[] nums1, int s1, int e1, int[] nums2, int s2, int e2, int nth) {
        // if one or two array indexes are trapped to one element
        if (s1 == e1) {
            if (s2 == e2) {
                return nth == 1 ? Math.min(nums1[s1], nums2[s2]) : Math.max(nums1[s1], nums2[s2]);
            }
            int nval = nums2[nth + s2 - 1];
            if (nval <= nums1[s1]) {
                return nval;
            } else {
                return Math.max(nums1[s1], nums2[nth + s2 - 2]);
            }
        }
        // the other trapped condition, rotate to do as the above
        if (s2 == e2) {
            return findNth(nums2, s2, e2, nums1, s1, e1, nth);
        }
        int p1 = (s1 + e1) / 2;
        int p2 = (s2 + e2) / 2;
        if (nums1[p1] >= nums2[p2]) {
            boolean f1 = false;
            boolean f2 = false;
            // number of all elements before p1(in nums1) or p2(in nums2)
            // under condition nums1[p1]>=nums2[p2],
            // all of theses elements are smaller or equal than nums1[p1]
            int lmargin = p1 - s1 + 1 + p2 - s2 + 1;
            // new indexes
            int ns1 = s1;
            int ne1 = e1;
            int ns2 = s2;
            int ne2 = e2;
            int nnth = nth;
            // if nth 0) {
                // nums1: the right of p1(including) can be discarded
                ne1 = p1 - 1;
                f1 = true;
            } else if (nth <= lmargin) {
                // nums1: the right of p1(excluding) can be discarded
                ne1 = p1;
                f1 = true;
            }
            // number of all elements after p1(in nums1) or p2(in nums2)
            // under condition nums1[p1]>=nums2[p2],
            // all of theses elements are greater or equal than nums2[p2]
            int rmargin = e1 - p1 + 1 + e2 - p2 + 1;
            // we are finding the nth element from the beginning as well as rnth
            // element from the end of the two
            int rnth = e1 - s1 + 1 + e2 - s2 + 1 - nth + 1;
            // if rnth rnth && e2 > p2) {
                // nums2: the left of p2(including) can be discarded
                nnth = nth - (p2 - s2) - 1;
                ns2 = p2 + 1;
                f2 = true;
            } else if (rmargin >= rnth) {
                // nums2: the left of p2(excluding) can be discarded
                nnth = nth - (p2 - s2);
                ns2 = p2;
                f2 = true;
            }
            if (f1 || f2) {
                // something changes, go on with the new index
                return findNth(nums1, ns1, ne1, nums2, ns2, ne2, nnth);
            }
        }
        // else reverse and find
        return findNth(nums2, s2, e2, nums1, s1, e1, nth);
    }
}

這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度可以認(rèn)為是O(log(m+n)).

但其實(shí), 我對(duì)這兩個(gè)算法都不太滿意, 都比較冗長(zhǎng)復(fù)雜, 暫時(shí)還沒(méi)有想到更簡(jiǎn)潔, 效率更高的算法.