摘要：科普動量是守恒量。動量守恒定律表示為一個系統不受外力或者所受外力之和為零，這個系統中所有物體的總動量保持不變。動量守恒定律可由機械能對空間平移對稱性推出。在可以忽略碰撞以外的因素時，動量是守恒的。

一路沿著本系列教程學習的朋友可能會發現，前面教程中都盡量避免提及質量的概念，很多運動概念也時刻提醒大家這不是真實的物體運動。因為真實的物體運動其實跟質量都是密不可分的，而且質量的引入自然必須提及力學概念，所以為了不內容冗余才忽略了質量。
從本篇開始，將會正式引入物理力學概念，給每個物體賦予質量概念，為了更加真實的模擬現實環境的物體運動。
閱讀本篇前請先打好前面的基礎。
本人能力有限，歡迎牛人共同討論，批評指正。

【科普】一般而言，一個物體的動量指的是這個物體在它運動方向上保持運動的趨勢。動量實際上是牛頓第一定律的一個推論。

動量即是“物體運動的量”，是物體的質量和速度的乘積，是矢量，能夠反應出運動的效果，一般用p表示。舉個例子，低速運動的重物，跟高速運動的子彈，擁有相同的威力。

p = m * v

【科普】動量是守恒量。動量守恒定律表示為：一個系統不受外力或者所受外力之和為零，這個系統中所有物體的總動量保持不變。它的一個推論為：在沒有外力干預的情況下，任何系統的質心都將保持勻速直線運動或靜止狀態不變。動量守恒定律可由機械能對空間平移對稱性推出。

動量守恒即系統在碰撞前的總動量等于系統在碰撞后的總動量。其中的系統簡單理解就是物體的集合。在可以忽略碰撞以外的因素時，動量是守恒的。

(m0 * v0) + (m1 * v1) = (m0 * v0Final) + (m1 * v1Final)

這條公式是我們計算碰撞后速度的基礎，因為我們假定我們的物體都是剛體，并且忽略外力做碰撞。現在只要推導出末速度v0Final和v1Final的公式，就可以應用到我們的模擬碰撞的編程動畫中。推導過程如下：

其實推導過程不重要，只要記得結論：

v1Final = (2 * m0 * v0) + v1 * (m1 - m0) / (m0 + m1)
v0Final = (2 * m1 * v1) - v0 * (m0 - m1) / (m0 + m1)
// 二者可直接轉換
v1Final = (v0 - v1) + v0Final

我們開始使用前面推導出的公式，先來個最簡單的單軸碰撞例子，這里演示了兩個球相撞的效果，mass定義了他們的質量，由于他們初始速度相同，所以依據動量守恒碰撞后ball0的速度變為-1/3，而ball1的速度變為5/3。

【PS】這里有個細節，碰撞時可能出現球已經重疊的情況，這個例子只是簡單將末速度加給碰撞后的球，用以彈開他們，這是不嚴謹但有效的做法。

完整示例：單軸碰撞

/**
 * 單軸碰撞
 * */
window.onload = function () {
  const canvas = document.getElementById("canvas");
  const context = canvas.getContext("2d");
  const ball0 = new Ball();
  const ball1 = new Ball();
  // 定義ball0的屬性
  ball0.mass = 2;
  ball0.x = 50;
  ball0.y = canvas.height / 2;
  ball0.vx = 1;
  // 定義ball1的屬性
  ball1.mass = 1;
  ball1.x = 300;
  ball1.y = canvas.height / 2;
  ball1.vx = -1;

  (function drawFrame() {
    window.requestAnimationFrame(drawFrame, canvas);
    context.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
    // 移動兩個物體的位置
    ball0.x += ball0.vx;
    ball1.x += ball1.vx;
    const dist = ball1.x - ball0.x;
    // 碰撞檢測
    if (Math.abs(dist) < ball0.radius + ball1.radius) {
      // 運用動量守恒計算碰撞后速度
      const vxTotal = ball0.vx - ball1.vx;
      ball0.vx = ((ball0.mass - ball1.mass) * ball0.vx + 2 * ball1.mass * ball1.vx) / (ball0.mass + ball1.mass);
      ball1.vx = vxTotal + ball0.vx;
      // 將速度加到兩物體的位置上實現彈開
      ball0.x += ball0.vx;
      ball1.y += ball1.vx;
    }
    // 繪制兩球
    ball0.draw(context);
    ball1.draw(context);
  }());
};

現實情況很少會出現單軸碰撞，如果兩個軸上都有速度，處理起來會比較麻煩，把速度分解出來再代入動量守恒公式，這里運用到上一篇中關于坐標旋轉的知識。

基本思路：

使用旋轉公式，以其中一個物體為原點，旋轉整個系統，將兩物體的中心連線置為水平場景；

求出物體x軸上的速度；

使用動量守恒計算x軸上的碰撞后速度；

再旋轉回來。

示例是兩個隨機初始速度的球在空間內碰撞，碰到邊界也會反彈，由于代碼量較大，這里只截取部分核心代碼：
注意：旋轉是以ball0為原點進行的，也就是說旋轉中的所有位置和速度都是相對于ball0的，所有回旋后的位置和速度需要轉換成相對于相對區域位置。
完整示例：雙軸碰撞

// 坐標旋轉函數
function rotate(x, y, sin, cos, reverse) {
  return {
    x: (reverse) ? (x * cos + y * sin) : (x * cos - y * sin),
    y: (reverse) ? (y * cos - x * sin) : (y * cos + x * sin),
  };
}
// 檢查碰撞
function checkCollision() {
  const dx = ball1.x - ball0.x;
  const dy = ball1.y - ball0.y;
  const dist = Math.sqrt(dx ** 2 + dy ** 2);

  // 基于距離的碰撞檢測
  if (dist < ball0.radius + ball1.radius) {
    // 以ball0為中心點旋轉
    const angle = Math.atan2(dy, dx);
    const sin = Math.sin(angle);
    const cos = Math.cos(angle);
    // ball0在中心點
    const pos0 = {
      x: 0,
      y: 0,
    };
    // 依據ball1與ball0的相對距離計算旋轉后的坐標（反向）
    const pos1 = rotate(dx, dy, sin, cos, true);
    // 旋轉ball0的速度（反向）
    const vel0 = rotate(ball0.vx, ball0.vy, sin, cos, true);
    // 旋轉ball1的速度（反向）
    const vel1 = rotate(ball1.vx, ball1.vy, sin, cos, true);
    // 計算相對速度
    const vxTotal = vel0.x - vel1.x;
    // 計算相撞后速度
    vel0.x = ((ball0.mass - ball1.mass) * vel0.x + 2 * ball1.mass * vel1.x) / (ball0.mass + ball1.mass);
    vel1.x = vxTotal + vel0.x;
    // 計算相撞后位置
    pos0.x += vel0.x;
    pos1.x += vel1.x;

    // 回旋位置
    const pos0F = rotate(pos0.x, pos0.y, sin, cos, false);
    const pos1F = rotate(pos1.x, pos1.y, sin, cos, false);

    // 將相對ball0位置轉換為相對區域位置
    ball1.x = ball0.x + pos1F.x;
    ball1.y = ball0.y + pos1F.y;
    ball0.x += pos0F.x;
    ball0.y += pos0F.y;
    // 回旋速度
    const vel0F = rotate(vel0.x, vel0.y, sin, cos, false);
    const vel1F = rotate(vel1.x, vel1.y, sin, cos, false);
    ball0.vx = vel0F.x;
    ball0.vy = vel0F.y;
    ball1.vx = vel1F.x;
    ball1.vy = vel1F.y;
  }
}

加入多個物體，只是把兩個物體的碰撞檢測，改變成所有物體兩兩間做碰撞檢測。

基本思路：

先遍歷一次物體集，讓物體移動并處理邊界碰撞；

再遍歷一次物體集，兩兩物體做碰撞檢測并求出碰撞后的速度和位置；

最后一次遍歷物體集，繪制他們。

依據這個思路我們得到了這樣一個示例，球的質量、大小和初始速度都是隨機的，碰撞代碼基本和前面是一樣的。
完整示例：多物體碰撞（無處理重疊）

仔細觀察示例，會發現這里會出現一個問題：小球會重疊到一起并且無法分離。這是由如下原因造成的：

程序依照三個小球的速度移動他們；

程序檢測ball0和ball1，ball0和ball2，發現他們并沒有碰撞；

程序檢測ball1和ball2。因為他們發生了碰撞，所以他們的速度和位置都要重新計算，然后彈開。但這不巧讓ball1和ball0 接觸上了。然而，由于這一組合已經過檢測，所以忽略了這一事實；

在下一輪循環中，程序依然按照他們的速度移動小球。這樣就使得ball0和ball1更加靠近了；

現在程序檢測到ball0和ball1碰撞了，重新計算速度和位置后，想要將他們分開，卻會出現無法完全分開的情況，就卡到了一起。

【PS】為什么無法完全分開？因為我們分開兩物體的做法是將新速度加到新位置上，如果舊位置已經重疊，那就永遠無法分離了。

改變分開兩物體的處理辦法就能解決這個問題，這里有個較為簡單但不是很精確的辦法：

先求給出總速度絕對值；

再求出重疊部分的長度；

以相撞后速度在總速度的比例移開兩個物體。

完整示例：多物體碰撞
改造后核心代碼如下：

function checkCollision(ball0, ball1) {
  const dx = ball1.x - ball0.x;
  const dy = ball1.y - ball0.y;
  const dist = Math.sqrt(dx ** 2 + dy ** 2);

  // 基于距離的碰撞檢測
  if (dist < ball0.radius + ball1.radius) {
    // 以ball0為中心點旋轉
    const angle = Math.atan2(dy, dx);
    const sin = Math.sin(angle);
    const cos = Math.cos(angle);
    // ball0在中心點
    const pos0 = {
      x: 0,
      y: 0,
    };
    // 依據ball1與ball0的相對距離計算旋轉后的坐標（反向）
    const pos1 = rotate(dx, dy, sin, cos, true);
    // 旋轉ball0的速度（反向）
    const vel0 = rotate(ball0.vx, ball0.vy, sin, cos, true);
    // 旋轉ball1的速度（反向）
    const vel1 = rotate(ball1.vx, ball1.vy, sin, cos, true);
    // 計算相對速度
    const vxTotal = vel0.x - vel1.x;
    // 計算相撞后速度
    vel0.x = ((ball0.mass - ball1.mass) * vel0.x + 2 * ball1.mass * vel1.x) / (ball0.mass + ball1.mass);
    vel1.x = vxTotal + vel0.x;
    // 計算出絕對速度和重疊量，分離避免物體重疊
    const absV = Math.abs(vel0.x) + Math.abs(vel1.x);
    const overlap = (ball0.radius + ball1.radius) - Math.abs(pos0.x - pos1.x);
    pos0.x += vel0.x / absV * overlap;
    pos1.x += vel1.x / absV * overlap;

    // 回旋位置
    const pos0F = rotate(pos0.x, pos0.y, sin, cos, false);
    const pos1F = rotate(pos1.x, pos1.y, sin, cos, false);

    // 將相對ball0位置轉換為相對區域位置
    ball1.x = ball0.x + pos1F.x;
    ball1.y = ball0.y + pos1F.y;
    ball0.x += pos0F.x;
    ball0.y += pos0F.y;
    // 回旋速度
    const vel0F = rotate(vel0.x, vel0.y, sin, cos, false);
    const vel1F = rotate(vel1.x, vel1.y, sin, cos, false);
    ball0.vx = vel0F.x;
    ball0.vy = vel0F.y;
    ball1.vx = vel1F.x;
    ball1.vy = vel1F.y;
  }
}