Python | 遞歸

qieangel2013 發布于2019-07-31 10:52 / 3069人閱讀

摘要：那假如我們用遞歸來描述這種情況呢定義基本情況其它情形所以在上述求和中的定義又用到了自己本身的定義，這就構成了遞歸。

說起遞歸，我覺得其實大部分人應該是不陌生的，遞歸廣泛存在于生活中。
比如：

The woman in this image holds an object that contains a smaller image of her holding an identical object, which in turn contains a smaller image of herself holding an identical object, and so forth.[from wikipedia]

那么遞歸的定義是什么呢？
在數學和計算機科學中，我們給出一個比較傳統的定義是：
它們有兩個特性。

一個基本特例，也稱作平凡（一般）情況，它是遞歸終止的情形

一個已定義好的規則來使其它非基本的情形轉化為基本情形

可能這個上面的定義比較枯燥，那么我們用一個經典的例子來說明一下。

Fibonacci sequence

Fib(0) = 0, 是一個基本情況
Fib(o) = 1, 是第二個基本情況
所以 Fibonacci sequence 總共有兩個基本情形
對于其它情形，我們定義 Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2)

到這里，估計讀者已經對遞歸有一個大概的印象了，那么在Python中我們怎么用遞歸來實現某些特定的功能呢？

我首先用一些簡單的例子來進行說明。

例1.

假如你要求序列數列 1, 2, 3, 4, ..., n 的和。比如對于n=4，其和是10。那假如我們用遞歸來描述這種情況呢？
定義:

基本情況：S(1) = 1

其它情形: S(n) = S(n-1) + n
所以在上述求和中S(n)的定義又用到了自己本身的定義，這就構成了遞歸。

我們用Python來實現以下上面的思路。

def Sum(n):
    if n==1:
    #對應基本情形
        return 1
    return Sum(n-1) + n#對應遞歸情形

>>> Sum(4)
10
>>> Sum(10)
55
>>> Sum(100)
5050

代碼如上，可以看到，問題如果用遞歸來解決的話，可以與現實很好的結合，因為現實中有很多問題也是遞歸定義的。
此外，使用遞歸編程也比較簡單。

例2.

經典的求階乘

定義 F(n) 為階乘函數。

基本情形: F(0) = 1, F(1) = 1

其它情形: F(n) = F(n-1) * n

實現:

def F(n):
    if n==0 or n==1:
    #對應基本情形
        return 1
    return F(n-1)*n#對應遞歸情形

>>> F(4)
24
>>> F(10)
3628800

例3.

求 斐波那契數列

定義Fib(n) 為斐波那契數列

基本情形:

Fib(0) = 1, Fib(1) = 1

其它情形:

Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)

實現:

def Fib(n):
    if n==0 or n==1:
        return 1
    return Fib(n-1)+Fib(n-2)

>>> Fib(10)
89
>>> Fib(8)
34
>>>

除此以外，接下來的幾道題也可以用遞歸求解，雖然可能在有些問題上，遞歸并不是最合適的工具，可以使用迭代得到比遞歸更為高效的算法。

例4.

計算s=a+aa+aaa+aaaa+aa...a，其中 a是一個數字。
其中，a 以及 n 由用戶輸入，但是我們在這里就直接給定了。

定義：
函數 SSS(a, n) 的值為上述所求值

基本情形：

SSS(a, 1) = a

其它情形:
SSS(a, n) = SSS(a, n-1) + a...a(共n項)

def SSS(a, n):

    #這里我說明一下，直接用input函數得到的就是字符串，除非你已經做了轉換
    #所以,我們設定a、n都是字符串
    n = int(n)#轉換
    if n == 1:
        return int(a)
    return SSS(a, n-1) + int(a * n)#請思考這里a*n

>>> SSS("2", "5")
24690
>>> SSS("2", "1")
2
>>> SSS("2", "2")
24
>>>

例5.

在一個排列中，如果一對數的前后位置與大小順序相反，即前面的數大于后面的數，那么它們就稱為一個逆序。一個排列中逆序的總數就稱為這個排列的逆序數。比如排列[1,4,3,2]中，4在3前面，但4>3，則4和3逆序，同理，4和2逆序，3和2逆序，共有3對逆序，因此這組排列的逆序數為3。現在請你設計一個程序，判斷用戶輸入的數組的逆序數。

定義：
OP(seq, n)為序列seq中前n項的逆序數

基本情形:
OP(seq[1...n], 1) = 0，對于只有一個元素的集合，逆序數必然只有0

其它情形:
OP(seq[1...n], n) = OP(seq[1...n, n-1] + F(n)，其中，F(n)是n關于seq[1...n-1]的逆序數.

實現:

def OP(seq, n):
    if n == 1:
        return 0
    #不為0
    Fn = 0
    for i in range(0, n-1):
        if seq[n-1] < seq[i]:
            Fn+=1
    return OP(seq, n-1)+Fn

>>> s = [5, 4, 3, 2, 1]
>>> s
[5, 4, 3, 2, 1]
>>> OP(s, len(s))
10
>>>

例6.

輸入某年某月某日，判斷這一天是這一年的第幾天？

假如我們要用遞歸實現這樣的程序，該怎么考慮呢？

首先，我們得定義出我們的遞歸函數，它有三個變量，年，月，日。

定義:WhichDay(year, month, day)

基本情況: WhichDay(year, month, day) 當month = 1時，可以看出，此時該函數的值為 day

其它情形:
WhichDay(year, month, day) = WhichDay(year, month-1, F(month-1))+day

請注意,我在遞歸式子中使用的F(month-1), 這個代表(month-1)這一月的總天數。

實現:

F = { 1:31, 2: 28, 3:31, 4:30, 5:31, 6:30, 7:31, 8:31, 9:30, 10: 31, 11: 30, 12: 31}
def WhichDay(year, month, day):
    if month == 1:
        return day
    flag = 0#二月是否閏年標志
    if month == 3:
        #二月特殊處理
        #這里month等于3請讀者思考
        if (year % 4 == 0 and year % 100!=0) or year % 400 == 0:
            flag = 1#判斷閏年
    return WhichDay(year, month-1, F[month-1]+flag)+day

>>> WhichDay(2016, 2, 1)
32
>>> WhichDay(2016, 11, 8)
313
>>> WhichDay(2016, 12, 31)
366
>>>

雖然上面的問題并不是很適合使用遞歸來實現，但是我主要是想跟大家分享一個遞歸解決問題中的思路，以及遞歸是一個很強大的工具，但是同時會產生很嚴重的效率問題。關于這一點，可以查看遞歸優化，可以很大程度上改善遞歸的效率。

希望讀者看完這篇教程，可以有所收獲，謝謝。

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