Fourier Transform

傅立葉變換用于分析各種濾波器的頻率特性，對于圖像，2D離散傅里葉變換（DFT）用于找到頻域.快速傅里葉變換（FFT）的快速算法用于計算DFT.

于一個正弦信號，x(t)=Asin(2πft)，我們可以說 f 是信號的頻率，如果它的頻率域被接受，我們可以看到 f 的峰值.如果信號被采樣來形成一個離散信號，我們得到相同的頻率域，但是在[?π,π] or [0,2π]范圍內是周期性的 (or [0,N] for N-point DFT).

可以將圖像視為在兩個方向上采樣的信號.因此，在X和Y方向上進行傅里葉變換可以得到圖像的頻率表示.

更直觀的是，對于正弦信號，如果振幅在短時間內變化得非常快，你可以說它是一個高頻信號.如果它變化緩慢，它是一個低頻信號,可以把同樣的想法擴展到圖片上,邊和噪聲是圖像中的高頻內容,如果振幅沒有很大的變化，那就是低頻分量.

np.fft.fft2()

第一個參數是輸入圖像，它是灰度圖像
第二個參數是可選的，它決定了輸出數組的大小,如果它大于輸入圖像的大小，則輸入圖像在計算FFT之前填充了0.如果它小于輸入圖像，輸入圖像將被裁剪,如果沒有參數傳遞，輸出數組的大小將與輸入相同.

一旦得到結果，零頻率分量（DC分量）將位于左上角。 如果要將其置于中心位置，則需要在兩個方向上將結果移動N2.np.fft.fftshift(),一旦你找到頻率變換，你就能找到大小譜.

代碼:

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

img = cv2.imread("img.jpg",0)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))

plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = "gray")
plt.title("Input Image"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = "gray")
plt.title("Magnitude Spectrum"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

可以在中心看到更多的白色區域，表示低頻率的內容更多.

現在可以在頻域做一些運算，比如高通濾波和重建圖像也就是找到逆DFT，只需用一個矩形窗口大小的60x60來移除低頻部分，使用np.fft.ifftshift()應用反向移動，使DC組件再次出現在左上角,然后使用np.ifft2()函數找到反FFT,結果將會是一個復數,可以取它的絕對值.
代碼:

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

img = cv2.imread("img.jpg",0)

f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))

rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2) , int(cols/2)
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
img_back = np.abs(img_back)


plt.subplot(221),plt.imshow(img, cmap = "gray")
plt.title("Input Image"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(222),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = "gray")
plt.title("Magnitude Spectrum"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(223),plt.imshow(img_back)
plt.title("Result in JET"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(224),plt.imshow(img_back, cmap = "gray")
plt.title("Image after HPF"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

結果表明，高通濾波是一種邊緣檢測操作.

OpenCV提供了cv.dft()和cv.idft()函數.它返回與前面相同的結果，但是有兩個通道.第一個通道將會有結果的實部，第二個通道將會有一個虛部.
輸入圖像首先應該轉換為np.float32

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

img = cv2.imread("img.jpg",0)


dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

magnitude_spectrum = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0],dft_shift[:,:,1]))

plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = "gray")
plt.title("Input Image"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = "gray")
plt.title("Magnitude Spectrum"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

也可以使用cv.cartToPolar()，它可以在一次拍攝中同時返回大小和相位.

現在我們要做的是逆DFT.這次我們將移除圖像中的高頻內容，即我們將LPF應用到圖像中.它實際上模糊了圖像.為此，我們先創建一個具有高值(1)低頻率的掩模，即我們通過低頻內容，而在高頻區域則是0。

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

img = cv2.imread("img.jpg",0)

dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2) , int(cols/2)

# create a mask first, center square is 1, remaining all zeros
mask = np.zeros((rows,cols,2),np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

# apply mask and inverse DFT
fshift = dft_shift*mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = cv2.idft(f_ishift)
img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1])

plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = "gray")
plt.title("Input Image"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = "gray")
plt.title("Magnitude Spectrum"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

NOTE:
OpenCV函數cv.dft（）和cv.idft（）比Numpy函數更快.但是Numpy功能更加用戶友好.