摘要：也就是說，損失函數是受到如下約束程序細節所以，我們的架構看起來是如下圖這也是我想要實現的架構圖表示卷積層，表示池化層，表示全連接層，層和層是我們重點要實現的層。

作者：chen_h
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當我們要使用神經網絡來構建一個多分類模型時，我們一般都會采用 softmax 函數來作為最后的分類函數。softmax 函數對每一個分類結果都會分配一個概率，我們把比較高的那個概率對應的類別作為模型的輸出。這就是為什么我們能從模型中推導出具體分類結果。為了訓練模型，我們使用 softmax 函數進行反向傳播，進行訓練。我們最后輸出的就是一個 0-1 向量。

在這篇文章中，我們不會去解釋什么是 softmax 回歸或者什么是 CNN。這篇文章的主要工作是如何在 TensorFlow 上面設計一個 L2 約束的 softmax 函數，我們使用的數據集是 MNIST。完整的理論分析可以查看這篇論文。

在具體實現之前，我們先來弄清楚一些概念。

softmax 損失函數可以定義如下：

其中各個參數定義如下：

帶約束的損失函數定義幾乎和之前的一樣，我們的目的還是最小化這個損失函數。

但是，我們需要對 f(x) 函數進行修改。

我們不是直接計算最后層權重與前一層網絡輸出 f(x) 之間的乘積，而是對前一層的 f(x) 先做一次歸一化，然后對這個歸一化的值進行 α 倍數的放大，最后我們進行常規的 softmax 函數進行計算。

也就是說，損失函數是受到如下約束：

所以，我們的架構看起來是如下圖（這也是我想要實現的架構圖）：

C 表示卷積層，P 表示池化層，FC 表示全連接層，L2-Norm 層和Scale 層是我們重點要實現的層。

利用 TensorFlow 進行實現

為了實現這個模型，我們使用這個代碼庫 進行學習。

在應用 dropout 之前，我們先對 N-1 層的輸出進行正則化，然后把正則化之后的結果乘以參數 alpha，然后進行 softmax 函數計算。下面是具體的代碼展示：

fc1 = alpha * tf.divide(fc1, tf.norm(fc1, ord="euclidean"))

如果我們把 alpha 設置為 0，那么這就是常規的 softmax 函數，否則就是一個 L2 約束。

完整代碼如下：

# Actual Code : https://github.com/aymericdamien/TensorFlow-Examples/blob/master/notebooks/3_NeuralNetworks/convolutional_network.ipynb
# Modified By: Manash

from __future__ import division, print_function, absolute_import

# Import MNIST data
from tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data
mnist = input_data.read_data_sets("/tmp/data/", one_hot=False)

import tensorflow as tf
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Training Parameters
learning_rate = 0.001
num_steps = 100
batch_size = 20


# Network Parameters
num_input = 784 # MNIST data input (img shape: 28*28)
num_classes = 10 # MNIST total classes (0-9 digits)
dropout = 0.75 # Dropout, probability to keep units


# Create the neural network
def conv_net(x_dict, n_classes, dropout, reuse, is_training, alpha=5):
    
    # Define a scope for reusing the variables
    with tf.variable_scope("ConvNet", reuse=reuse):
        # TF Estimator input is a dict, in case of multiple inputs
        x = x_dict["images"]

        # MNIST data input is a 1-D vector of 784 features (28*28 pixels)
        # Reshape to match picture format [Height x Width x Channel]
        # Tensor input become 4-D: [Batch Size, Height, Width, Channel]
        x = tf.reshape(x, shape=[-1, 28, 28, 1])

        # Convolution Layer with 32 filters and a kernel size of 5
        conv1 = tf.layers.conv2d(x, 32, 5, activation=tf.nn.relu)
        # Max Pooling (down-sampling) with strides of 2 and kernel size of 2
        conv1 = tf.layers.max_pooling2d(conv1, 2, 2)

        # Convolution Layer with 32 filters and a kernel size of 5
        conv2 = tf.layers.conv2d(conv1, 64, 3, activation=tf.nn.relu)
        # Max Pooling (down-sampling) with strides of 2 and kernel size of 2
        conv2 = tf.layers.max_pooling2d(conv2, 2, 2)

        # Flatten the data to a 1-D vector for the fully connected layer
        fc1 = tf.contrib.layers.flatten(conv2)

        # Fully connected layer (in tf contrib folder for now)
        fc1 = tf.layers.dense(fc1, 1024)
        
        # If alpha is not zero then perform the l2-Normalization then scaling up
        if alpha != 0:
            fc1 = alpha * tf.divide(fc1, tf.norm(fc1, ord="euclidean"))
    
        # Apply Dropout (if is_training is False, dropout is not applied)
        fc1 = tf.layers.dropout(fc1, rate=dropout, training=is_training)
  
        # Output layer, class prediction
        out = tf.layers.dense(fc1, n_classes)

    return out
  
# Define the model function (following TF Estimator Template)
def model_fn(features, labels, mode):
    # Set alpha
    alph = 50
    
    # Build the neural network
    # Because Dropout have different behavior at training and prediction time, we
    # need to create 2 distinct computation graphs that still share the same weights.
    logits_train = conv_net(features, num_classes, dropout, reuse=False, is_training=True, alpha=alph)
    
    # At test time we don"t need to normalize or scale, it"s redundant as per paper : https://arxiv.org/abs/1703.09507
    logits_test = conv_net(features, num_classes, dropout, reuse=True, is_training=False, alpha=0)
    
    # Predictions
    pred_classes = tf.argmax(logits_test, axis=1)
    pred_probas = tf.nn.softmax(logits_test)
    
    # If prediction mode, early return
    if mode == tf.estimator.ModeKeys.PREDICT:
        return tf.estimator.EstimatorSpec(mode, predictions=pred_classes) 
        
    # Define loss and optimizer
    loss_op = tf.reduce_mean(tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits(
        logits=logits_train, labels=tf.cast(labels, dtype=tf.int32)))
    optimizer = tf.train.AdamOptimizer(learning_rate=learning_rate)
    train_op = optimizer.minimize(loss_op, global_step=tf.train.get_global_step())
    
    # Evaluate the accuracy of the model
    acc_op = tf.metrics.accuracy(labels=labels, predictions=pred_classes)
    
    # TF Estimators requires to return a EstimatorSpec, that specify
    # the different ops for training, evaluating, ...
    estim_specs = tf.estimator.EstimatorSpec(
      mode=mode,
      predictions=pred_classes,
      loss=loss_op,
      train_op=train_op,
      eval_metric_ops={"accuracy": acc_op})

    return estim_specs

  
# Build the Estimator
model = tf.estimator.Estimator(model_fn)

# Define the input function for training
input_fn = tf.estimator.inputs.numpy_input_fn(
    x={"images": mnist.train.images}, y=mnist.train.labels,
    batch_size=batch_size, num_epochs=None, shuffle=False)
# Train the Model
model.train(input_fn, steps=num_steps)

# Evaluate the Model
# Define the input function for evaluating
input_fn = tf.estimator.inputs.numpy_input_fn(
    x={"images": mnist.test.images}, y=mnist.test.labels,
    batch_size=batch_size, shuffle=False)
# Use the Estimator "evaluate" method
model.evaluate(input_fn)


# Predict single images
n_images = 4
# Get images from test set
test_images = mnist.test.images[:n_images]
# Prepare the input data
input_fn = tf.estimator.inputs.numpy_input_fn(
    x={"images": test_images}, shuffle=False)
# Use the model to predict the images class
preds = list(model.predict(input_fn))

# Display
for i in range(n_images):
    plt.imshow(np.reshape(test_images[i], [28, 28]), cmap="gray")
    plt.show()
    print("Model prediction:", preds[i])
    

這個真的能提高性能嗎？是的，而且效果非常好，它能提高大約 1% 的性能。我沒有計算很多的迭代，主要是我沒有很好的電腦。如果你對這個性能有你疑惑，你可以自己試試看。

以下是不同 alpha 值對應的模型性能：

橘黃色的線表示用常規的 softmax 函數，藍色的線是用 L2 約束的 softmax 函數。

作者：chen_h
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