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摘要：本文首發于深入淺出區塊鏈社區原文鏈接非對稱加密技術算法數學原理分析原文已更新，請讀者前往原文閱讀非對稱加密技術，在現在網絡中，有非常廣泛應用。加密技術更是數字貨幣的基礎。
本文首發于深入淺出區塊鏈社區
原文鏈接:非對稱加密技術 - RSA算法數學原理分析原文已更新，請讀者前往原文閱讀非對稱加密技術，在現在網絡中，有非常廣泛應用。加密技術更是數字貨幣的基礎。
所謂非對稱，就是指該算法需要一對密鑰，使用其中一個（公鑰）加密，則需要用另一個（私鑰）才能解密。
但是對于其原理大部分同學應該都是一知半解，今天就來分析下經典的非對稱加密算法 - RSA算法。
通過本文的分析，可以更好的理解非對稱加密原理，可以讓我們更好的使用非對稱加密技術。
題外話:
本博客一直有打算寫一系列文章通俗的密碼學，昨天給站點上https, 因其中使用了RSA算法，就查了一下，發現現在網上介紹RSA算法的文章都寫的太難理解了，反正也準備寫密碼學，就先寫RSA算法吧，下面開始正文。
RSA算法的基于這樣的數學事實：兩個大質數相乘得到的大數難以被因式分解。
如：有很大質數p跟q，很容易算出N，使得 N = p * q，
但給出N, 比較難找p q（沒有很好的方式， 只有不停的嘗試）
這其實也是單向函數的概念
下面來看看數學演算過程：
1、 選取兩個大質數p，q，計算N = p q 及 φ ( N ) = φ (p) φ (q) = (p-1) * (q-1)
三個數學概念：
質數(prime numbe)：又稱素數，為在大于1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數。
互質關系：如果兩個正整數，除了1以外，沒有其他公因子，我們就稱這兩個數是互質關系（coprime）。
φ(N)：叫做歐拉函數，是指任意給定正整數N，在小于等于N的正整數之中，有多少個與N構成互質關系。如果n是質數，則 φ(n)=n-1。
如果n可以分解成兩個互質的整數之積， φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)。即積的歐拉函數等于各個因子的歐拉函數之積。
2、選擇一個大于1 小于φ(N)的數e，使得 e 和 φ(N)互質
e其實是1和φ(N)之前的一個質數
3、 計算d，使得de=1 mod φ(N) 等價于方程式 ed-1 = k φ(N) 求一組解。
d 稱為e的模反元素，e 和 φ(N)互質就肯定存在d。
模反元素是指如果兩個正整數a和n互質，那么一定可以找到整數b，使得ab被n除的余數是1，則b稱為a的模反元素。
可根據歐拉定理證明模反元素存在，歐拉定理是指若n,a互質，則：
a^φ(n) ≡ 1(mod n) 及 a^φ(n) = a * a^（φ(n) - 1）， 可得a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。
4、 (N, e)封裝成公鑰，(N, d)封裝成私鑰。
假設m為明文，加密就是算出密文c:
m^e mod N = c (明文m用公鑰e加密并和隨機數N取余得到密文c)
解密則是：
c^d mod N = m (密文c用密鑰解密并和隨機數N取余得到明文m) > 私鑰解密這個是可以證明的，這里不展開了。加解密步驟
具體還是來看看步驟，舉個例子，假設Alice和Bob又要相互通信。
Alice 隨機取大質數P1=53，P2=59，那N=53*59=3127，φ(N)=3016
取一個e=3，計算出d=2011。
只將N=3127，e=3 作為公鑰傳給Bob（公鑰公開）
假設Bob需要加密的明文m=89，c = 89^3 mod 3127=1394，于是Bob傳回c=1394。 （公鑰加密過程）
Alice使用c^d mod N = 1394^2011 mod 3127，就能得到明文m=89。 （私鑰解密過程）
假如攻擊者能截取到公鑰n=3127，e=3及密文c=1394，是仍然無法不通過d來進行密文解密的。
安全性分析那么，有無可能在已知n和e的情況下，推導出d？
1. ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。 2. φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。 3. n=pq。只有將n因數分解，才能算出p和q。
如果n可以被因數分解，d就可以算出，因此RSA安全性建立在N的因式分解上。大整數的因數分解，是一件非常困難的事情。
只要密鑰長度足夠長，用RSA加密的信息實際上是不能被解破的。
模運算加減法：
(a + b) mod p = (a mod p + b mod p) mod p
(a - b) mod p = (a mod p - b mod p) mod p
模運算乘法：
(a b) mod p = (a mod p b mod p) mod p
模運算冪
a ^ b mod p = ((a mod p)^b) mod p
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