摘要：之所以把計數排序桶排序基數排序放在一起比較，是因為它們的平均時間復雜度都為。動畫計數排序思想找出待排序的數組中最大和最小的元素。桶排序計數排序能派上用場嗎手機號碼有位，范圍太大，顯然不適合用這兩種排序算法。

算法為王。

想學好前端，先練好內功，只有內功深厚者，前端之路才會走得更遠。

筆者寫的 JavaScript 數據結構與算法之美 系列用的語言是 JavaScript ，旨在入門數據結構與算法和方便以后復習。

之所以把 計數排序、桶排序、基數排序 放在一起比較，是因為它們的平均時間復雜度都為 O(n)。

因為這三個排序算法的時間復雜度是線性的，所以我們把這類排序算法叫作 線性排序（Linear sort）。

之所以能做到線性的時間復雜度，主要原因是，這三個算法不是基于比較的排序算法，都不涉及元素之間的比較操作。

另外，請大家帶著問題來閱讀下文，問題：如何根據年齡給 100 萬用戶排序 ？

桶排序是計數排序的升級版，也采用了分治思想。

思想

將要排序的數據分到有限數量的幾個有序的桶里。

每個桶里的數據再多帶帶進行排序（一般用插入排序或者快速排序）。

桶內排完序之后，再把每個桶里的數據按照順序依次取出，組成的序列就是有序的了。

比如：

桶排序利用了函數的映射關系，高效與否的關鍵就在于這個映射函數的確定。

為了使桶排序更加高效，我們需要做到這兩點：

在額外空間充足的情況下，盡量增大桶的數量。

使用的映射函數能夠將輸入的 N 個數據均勻的分配到 K 個桶中。

桶排序的核心：就在于怎么把元素平均分配到每個桶里，合理的分配將大大提高排序的效率。

實現

// 桶排序
const bucketSort = (array, bucketSize) => {
  if (array.length === 0) {
    return array;
  }

  console.time("桶排序耗時");
  let i = 0;
  let minValue = array[0];
  let maxValue = array[0];
  for (i = 1; i < array.length; i++) {
    if (array[i] < minValue) {
      minValue = array[i]; //輸入數據的最小值
    } else if (array[i] > maxValue) {
      maxValue = array[i]; //輸入數據的最大值
    }
  }

  //桶的初始化
  const DEFAULT_BUCKET_SIZE = 5; //設置桶的默認數量為 5
  bucketSize = bucketSize || DEFAULT_BUCKET_SIZE;
  const bucketCount = Math.floor((maxValue - minValue) / bucketSize) + 1;
  const buckets = new Array(bucketCount);
  for (i = 0; i < buckets.length; i++) {
    buckets[i] = [];
  }

  //利用映射函數將數據分配到各個桶中
  for (i = 0; i < array.length; i++) {
    buckets[Math.floor((array[i] - minValue) / bucketSize)].push(array[i]);
  }

  array.length = 0;
  for (i = 0; i < buckets.length; i++) {
    quickSort(buckets[i]); //對每個桶進行排序，這里使用了快速排序
    for (var j = 0; j < buckets[i].length; j++) {
      array.push(buckets[i][j]);
    }
  }
  console.timeEnd("桶排序耗時");

  return array;
};

// 快速排序
const quickSort = (arr, left, right) => {
    let len = arr.length,
        partitionIndex;
    left = typeof left != "number" ? 0 : left;
    right = typeof right != "number" ? len - 1 : right;

    if (left < right) {
        partitionIndex = partition(arr, left, right);
        quickSort(arr, left, partitionIndex - 1);
        quickSort(arr, partitionIndex + 1, right);
    }
    return arr;
};

const partition = (arr, left, right) => {
    //分區操作
    let pivot = left, //設定基準值（pivot）
        index = pivot + 1;
    for (let i = index; i <= right; i++) {
        if (arr[i] < arr[pivot]) {
            swap(arr, i, index);
            index++;
        }
    }
    swap(arr, pivot, index - 1);
    return index - 1;
};

const swap = (arr, i, j) => {
    let temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
};

測試

const array = [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2];
console.log("原始array:", array);
const newArr = bucketSort(array);
console.log("newArr:", newArr);
// 原始 array: ?[4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2]
// 堆排序耗時:   0.133056640625ms
// newArr: ?     [1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9]

分析

第一，桶排序是原地排序算法嗎 ？

因為桶排序的空間復雜度，也即內存消耗為 O(n)，所以不是原地排序算法。

第二，桶排序是穩定的排序算法嗎 ？

取決于每個桶的排序方式，比如：快排就不穩定，歸并就穩定。

第三，桶排序的時間復雜度是多少 ？

因為桶內部的排序可以有多種方法，是會對桶排序的時間復雜度產生很重大的影響。所以，桶排序的時間復雜度可以是多種情況的。

總的來說
最佳情況：當輸入的數據可以均勻的分配到每一個桶中。
最差情況：當輸入的數據被分配到了同一個桶中。

以下是桶的內部排序為快速排序的情況：

如果要排序的數據有 n 個，我們把它們均勻地劃分到 m 個桶內，每個桶里就有 k =n / m 個元素。每個桶內部使用快速排序，時間復雜度為 O(k * logk)。
m 個桶排序的時間復雜度就是 O(m k logk)，因為 k = n / m，所以整個桶排序的時間復雜度就是 O(n*log(n/m))。
當桶的個數 m 接近數據個數 n 時，log(n/m) 就是一個非常小的常量，這個時候桶排序的時間復雜度接近 O(n)。

最佳情況：T(n) = O(n)。當輸入的數據可以均勻的分配到每一個桶中。
最差情況：T(n) = O(nlogn)。當輸入的數據被分配到了同一個桶中。
平均情況：T(n) = O(n)。

桶排序最好情況下使用線性時間 O(n)，桶排序的時間復雜度，取決與對各個桶之間數據進行排序的時間復雜度，因為其它部分的時間復雜度都為 O(n)。
很顯然，桶劃分的越小，各個桶之間的數據越少，排序所用的時間也會越少。但相應的空間消耗就會增大。

適用場景

桶排序比較適合用在外部排序中。

外部排序就是數據存儲在外部磁盤且數據量大，但內存有限，無法將整個數據全部加載到內存中。

動畫

思想

找出待排序的數組中最大和最小的元素。

統計數組中每個值為 i 的元素出現的次數，存入新數組 countArr 的第 i 項。

對所有的計數累加（從 countArr 中的第一個元素開始，每一項和前一項相加）。

反向填充目標數組：將每個元素 i 放在新數組的第 countArr[i] 項，每放一個元素就將 countArr[i] 減去 1 。

關鍵在于理解最后反向填充時的操作。

使用條件

只能用在數據范圍不大的場景中，若數據范圍 k 比要排序的數據 n 大很多，就不適合用計數排序。

計數排序只能給非負整數排序，其他類型需要在不改變相對大小情況下，轉換為非負整數。

比如如果考試成績精確到小數后一位，就需要將所有分數乘以 10，轉換為整數。

實現

方法一：

const countingSort = array => {
    let len = array.length,
        result = [],
        countArr = [],
        min = (max = array[0]);
    console.time("計數排序耗時");
    for (let i = 0; i < len; i++) {
        // 獲取最小，最大 值
        min = min <= array[i] ? min : array[i];
        max = max >= array[i] ? max : array[i];
        countArr[array[i]] = countArr[array[i]] ? countArr[array[i]] + 1 : 1;
    }
    console.log("countArr :", countArr);
    // 從最小值 -> 最大值,將計數逐項相加
    for (let j = min; j < max; j++) {
        countArr[j + 1] = (countArr[j + 1] || 0) + (countArr[j] || 0);
    }
    console.log("countArr 2:", countArr);
    // countArr 中,下標為 array 數值，數據為 array 數值出現次數；反向填充數據進入 result 數據
    for (let k = len - 1; k >= 0; k--) {
        // result[位置] = array 數據
        result[countArr[array[k]] - 1] = array[k];
        // 減少 countArr 數組中保存的計數
        countArr[array[k]]--;
        // console.log("array[k]:", array[k], "countArr[array[k]] :", countArr[array[k]],)
        console.log("result:", result);
    }
    console.timeEnd("計數排序耗時");
    return result;
};

測試

const array = [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2];
console.log("原始 array: ", array);
const newArr = countingSort(array);
console.log("newArr: ", newArr);
// 原始 array: ?[2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2]
// 計數排序耗時:   5.6708984375ms
// newArr: ?     [1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9]

方法二：

const countingSort2 = (arr, maxValue) => {
    console.time("計數排序耗時");
    maxValue = maxValue || arr.length;
    let bucket = new Array(maxValue + 1),
        sortedIndex = 0;
    (arrLen = arr.length), (bucketLen = maxValue + 1);

    for (let i = 0; i < arrLen; i++) {
        if (!bucket[arr[i]]) {
            bucket[arr[i]] = 0;
        }
        bucket[arr[i]]++;
    }

    for (let j = 0; j < bucketLen; j++) {
        while (bucket[j] > 0) {
            arr[sortedIndex++] = j;
            bucket[j]--;
        }
    }
    console.timeEnd("計數排序耗時");
    return arr;
};

測試

const array2 = [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2];
console.log("原始 array2: ", array2);
const newArr2 = countingSort2(array2, 21);
console.log("newArr2: ", newArr2);
// 原始 array: ?[2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2]
// 計數排序耗時:   0.043212890625ms
// newArr: ?     [1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9]

例子

可以認為，計數排序其實是桶排序的一種特殊情況。

當要排序的 n 個數據，所處的范圍并不大的時候，比如最大值是 k，我們就可以把數據劃分成 k 個桶。每個桶內的數據值都是相同的，省掉了桶內排序的時間。

我們都經歷過高考，高考查分數系統你還記得嗎？我們查分數的時候，系統會顯示我們的成績以及所在省的排名。如果你所在的省有 50 萬考生，如何通過成績快速排序得出名次呢？

考生的滿分是 900 分，最小是 0 分，這個數據的范圍很小，所以我們可以分成 901 個桶，對應分數從 0 分到 900 分。

根據考生的成績，我們將這 50 萬考生劃分到這 901 個桶里。桶內的數據都是分數相同的考生，所以并不需要再進行排序。

我們只需要依次掃描每個桶，將桶內的考生依次輸出到一個數組中，就實現了 50 萬考生的排序。

因為只涉及掃描遍歷操作，所以時間復雜度是 O(n)。

分析

第一，計數排序是原地排序算法嗎 ？

因為計數排序的空間復雜度為 O(k)，k 是桶的個數，所以不是原地排序算法。

第二，計數排序是穩定的排序算法嗎 ？

計數排序不改變相同元素之間原本相對的順序，因此它是穩定的排序算法。

第三，計數排序的時間復雜度是多少 ？

最佳情況：T(n) = O(n + k)
最差情況：T(n) = O(n + k)
平均情況：T(n) = O(k)
k：桶的個數。

動畫

思想

基數排序是一種非比較型整數排序算法，其原理是將整數按位數切割成不同的數字，然后按每個位數分別比較。

由于整數也可以表達字符串（比如名字或日期）和特定格式的浮點數，所以基數排序也不是只能使用于整數。

例子

假設我們有 10 萬個手機號碼，希望將這 10 萬個手機號碼從小到大排序，你有什么比較快速的排序方法呢 ？

這個問題里有這樣的規律：假設要比較兩個手機號碼 a，b 的大小，如果在前面幾位中，a 手機號碼已經比 b 手機號碼大了，那后面的幾位就不用看了。所以是基于位來比較的。

桶排序、計數排序能派上用場嗎 ？手機號碼有 11 位，范圍太大，顯然不適合用這兩種排序算法。針對這個排序問題，有沒有時間復雜度是 O(n) 的算法呢 ？ 有，就是基數排序。

使用條件

要求數據可以分割獨立的位來比較；

位之間由遞進關系，如果 a 數據的高位比 b 數據大，那么剩下的地位就不用比較了；

每一位的數據范圍不能太大，要可以用線性排序，否則基數排序的時間復雜度無法做到 O(n)。

方案

按照優先從高位或低位來排序有兩種實現方案:

MSD：由高位為基底，先按 k1 排序分組，同一組中記錄, 關鍵碼 k1 相等，再對各組按 k2 排序分成子組, 之后，對后面的關鍵碼繼續這樣的排序分組，直到按最次位關鍵碼 kd 對各子組排序后，再將各組連接起來，便得到一個有序序列。MSD 方式適用于位數多的序列。

LSD：由低位為基底，先從 kd 開始排序，再對 kd - 1 進行排序，依次重復，直到對 k1 排序后便得到一個有序序列。LSD 方式適用于位數少的序列。

實現

/**
    * name: 基數排序
    * @param  array 待排序數組
    * @param  max 最大位數
    */
const radixSort = (array, max) => {
    console.time("計數排序耗時");
    const buckets = [];
    let unit = 10,
        base = 1;
    for (let i = 0; i < max; i++, base *= 10, unit *= 10) {
        for (let j = 0; j < array.length; j++) {
            let index = ~~((array[j] % unit) / base); //依次過濾出個位，十位等等數字
            if (buckets[index] == null) {
                buckets[index] = []; //初始化桶
            }
            buckets[index].push(array[j]); //往不同桶里添加數據
        }
        let pos = 0,
            value;
        for (let j = 0, length = buckets.length; j < length; j++) {
            if (buckets[j] != null) {
                while ((value = buckets[j].shift()) != null) {
                    array[pos++] = value; //將不同桶里數據挨個撈出來，為下一輪高位排序做準備，由于靠近桶底的元素排名靠前，因此從桶底先撈
                }
            }
        }
    }
    console.timeEnd("計數排序耗時");
    return array;
};

測試

const array = [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48];
console.log("原始array:", array);
const newArr = radixSort(array, 2);
console.log("newArr:", newArr);
// 原始 array: ?[3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48]
// 堆排序耗時:   0.064208984375ms
// newArr: ?     [2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]

分析

第一，基數排序是原地排序算法嗎 ？

因為計數排序的空間復雜度為 O(n + k)，所以不是原地排序算法。

第二，基數排序是穩定的排序算法嗎 ？

基數排序不改變相同元素之間的相對順序，因此它是穩定的排序算法。

第三，基數排序的時間復雜度是多少 ？

最佳情況：T(n) = O(n * k)
最差情況：T(n) = O(n * k)
平均情況：T(n) = O(n * k)
k 是待排序列最大值。

動畫

LSD 基數排序動圖演示：

回過頭來看看開篇的思考題：如何根據年齡給 100 萬用戶排序 ？

你可能會說，我用上一節講的歸并、快排就可以搞定啊！是的，它們也可以完成功能，但是時間復雜度最低也是 O(nlogn)。

有沒有更快的排序方法呢 ？以下是參考答案。

實際上，根據年齡給 100 萬用戶排序，就類似按照成績給 50 萬考生排序。

我們假設年齡的范圍最小 1 歲，最大不超過 120 歲。

我們可以遍歷這 100 萬用戶，根據年齡將其劃分到這 120 個桶里，然后依次順序遍歷這 120 個桶中的元素。

這樣就得到了按照年齡排序的 100 萬用戶數據。

基數排序 vs 計數排序 vs 桶排序

基數排序有兩種方法：

MSD 從高位開始進行排序

LSD 從低位開始進行排序

這三種排序算法都利用了桶的概念，但對桶的使用方法上有明顯差異：

基數排序：根據鍵值的每位數字來分配桶；

計數排序：每個桶只存儲單一鍵值；

桶排序：每個桶存儲一定范圍的數值；

復雜性對比

n: 數據規模

桶排序的時間復雜度可以是多種情況的，取決于桶內的排序。

算法可視化工具 algorithm-visualizer
算法可視化工具 algorithm-visualizer 是一個交互式的在線平臺，可以從代碼中可視化算法，還可以看到代碼執行的過程。

效果如下圖。

旨在通過交互式可視化的執行來揭示算法背后的機制。

算法可視化來源 https://visualgo.net/en

效果如下圖。

https://www.ee.ryerson.ca

illustrated-algorithms

變量和操作的可視化表示增強了控制流和實際源代碼。您可以快速前進和后退執行，以密切觀察算法的工作方式。

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歸并排序、快速排序、希爾排序、堆排序

計數排序、桶排序、基數排序

十大經典排序匯總

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文中所有的代碼及測試事例都已經放到我的 GitHub 上了。

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參考文章：

菜鳥教程 - 算法系列

線性排序：如何根據年齡給100萬用戶數據排序？

十大經典排序算法總結（JavaScript 描述）

JS 中可能用得到的全部的排序算法