摘要:什么是復(fù)雜度分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法解決是如何讓計(jì)算機(jī)更快時(shí)間更省空間的解決問題。分別用時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度兩個(gè)概念來描述性能問題,二者統(tǒng)稱為復(fù)雜度。復(fù)雜度描述的是算法執(zhí)行時(shí)間或占用空間與數(shù)據(jù)規(guī)模的增長(zhǎng)關(guān)系。這就是大時(shí)間復(fù)雜度表示法。
復(fù)雜度分析是整個(gè)算法學(xué)習(xí)的精髓,只要掌握了它,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法的內(nèi)容基本上就掌握了一半了。1. 什么是復(fù)雜度分析 ?
數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法解決是 “如何讓計(jì)算機(jī)更快時(shí)間、更省空間的解決問題”。
因此需從執(zhí)行時(shí)間和占用空間兩個(gè)維度來評(píng)估數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法的性能。
分別用時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度兩個(gè)概念來描述性能問題,二者統(tǒng)稱為復(fù)雜度。
復(fù)雜度描述的是算法執(zhí)行時(shí)間(或占用空間)與數(shù)據(jù)規(guī)模的增長(zhǎng)關(guān)系。
2. 為什么要進(jìn)行復(fù)雜度分析 ?和性能測(cè)試相比,復(fù)雜度分析有不依賴執(zhí)行環(huán)境、成本低、效率高、易操作、指導(dǎo)性強(qiáng)的特點(diǎn)。
掌握復(fù)雜度分析,將能編寫出性能更優(yōu)的代碼,有利于降低系統(tǒng)開發(fā)和維護(hù)成本。
3. 如何進(jìn)行復(fù)雜度分析 ? 3.1 大 O 表示法算法的執(zhí)行時(shí)間與每行代碼的執(zhí)行次數(shù)成正比,用 T(n) = O(f(n)) 表示,其中 T(n) 表示算法執(zhí)行總時(shí)間,f(n) 表示每行代碼執(zhí)行總次數(shù),而 n 往往表示數(shù)據(jù)的規(guī)模。這就是大 O 時(shí)間復(fù)雜度表示法。
3.2 時(shí)間復(fù)雜度1)定義
算法的時(shí)間復(fù)雜度,也就是算法的時(shí)間量度。
大 O 時(shí)間復(fù)雜度表示法 實(shí)際上并不具體表示代碼真正的執(zhí)行時(shí)間,而是表示 代碼執(zhí)行時(shí)間隨數(shù)據(jù)規(guī)模增長(zhǎng)的變化趨勢(shì),所以也叫 漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度,簡(jiǎn)稱 時(shí)間復(fù)雜度(asymptotic time complexity)。
例子1:
function aFun() { console.log("Hello, World!"); // 需要執(zhí)行 1 次 return 0; // 需要執(zhí)行 1 次 }
那么這個(gè)方法需要執(zhí)行 2 次運(yùn)算。
例子 2:
function bFun(n) { for(let i = 0; i < n; i++) { // 需要執(zhí)行 (n + 1) 次 console.log("Hello, World!"); // 需要執(zhí)行 n 次 } return 0; // 需要執(zhí)行 1 次 }
那么這個(gè)方法需要執(zhí)行 ( n + 1 + n + 1 ) = 2n +2 次運(yùn)算。
例子 3:
function cal(n) { let sum = 0; // 1 次 let i = 1; // 1 次 let j = 1; // 1 次 for (; i <= n; ++i) { // n 次 j = 1; // n 次 for (; j <= n; ++j) { // n * n ,也即是 n平方次 sum = sum + i * j; // n * n ,也即是 n平方次 } } }
注意,這里是二層 for 循環(huán),所以第二層執(zhí)行的是 n * n = n2 次,而且這里的循環(huán)是 ++i,和例子 2 的是 i++,是不同的,是先加與后加的區(qū)別。
那么這個(gè)方法需要執(zhí)行 ( n2 + n2 + n + n + 1 + 1 +1 ) = 2n2 +2n + 3 。
2)特點(diǎn)
以時(shí)間復(fù)雜度為例,由于 時(shí)間復(fù)雜度 描述的是算法執(zhí)行時(shí)間與數(shù)據(jù)規(guī)模的 增長(zhǎng)變化趨勢(shì),所以 常量、低階、系數(shù) 實(shí)際上對(duì)這種增長(zhǎng)趨勢(shì)不產(chǎn)生決定性影響,所以在做時(shí)間復(fù)雜度分析時(shí) 忽略 這些項(xiàng)。
所以,上面例子1 的時(shí)間復(fù)雜度為 T(n) = O(1),例子2 的時(shí)間復(fù)雜度為 T(n) = O(n),例子3 的時(shí)間復(fù)雜度為 T(n) = O(n2)。
3.3 時(shí)間復(fù)雜度分析
只關(guān)注循環(huán)執(zhí)行次數(shù)最多的一段代碼
單段代碼看高頻:比如循環(huán)。
function cal(n) { let sum = 0; let i = 1; for (; i <= n; ++i) { sum = sum + i; } return sum; }
執(zhí)行次數(shù)最多的是 for 循環(huán)及里面的代碼,執(zhí)行了 n 次,所以時(shí)間復(fù)雜度為 O(n)。
加法法則:總復(fù)雜度等于量級(jí)最大的那段代碼的復(fù)雜度
多段代碼取最大:比如一段代碼中有單循環(huán)和多重循環(huán),那么取多重循環(huán)的復(fù)雜度。
function cal(n) { let sum_1 = 0; let p = 1; for (; p < 100; ++p) { sum_1 = sum_1 + p; } let sum_2 = 0; let q = 1; for (; q < n; ++q) { sum_2 = sum_2 + q; } let sum_3 = 0; let i = 1; let j = 1; for (; i <= n; ++i) { j = 1; for (; j <= n; ++j) { sum_3 = sum_3 + i * j; } } return sum_1 + sum_2 + sum_3; }
上面代碼分為三部分,分別求 sum_1、sum_2、sum_3 ,主要看循環(huán)部分。
第一部分,求 sum_1 ,明確知道執(zhí)行了 100 次,而和 n 的規(guī)模無關(guān),是個(gè)常量的執(zhí)行時(shí)間,不能反映增長(zhǎng)變化趨勢(shì),所以時(shí)間復(fù)雜度為 O(1)。
第二和第三部分,求 sum_2 和 sum_3 ,時(shí)間復(fù)雜度是和 n 的規(guī)模有關(guān)的,為別為 O(n) 和 O(n2)。
所以,取三段代碼的最大量級(jí),上面例子的最終的時(shí)間復(fù)雜度為 O(n2)。
同理類推,如果有 3 層 for 循環(huán),那么時(shí)間復(fù)雜度為 O(n3),4 層就是 O(n4)。
所以,總的時(shí)間復(fù)雜度就等于量級(jí)最大的那段代碼的時(shí)間復(fù)雜度。
乘法法則:嵌套代碼的復(fù)雜度等于嵌套內(nèi)外代碼復(fù)雜度的乘積
嵌套代碼求乘積:比如遞歸、多重循環(huán)等。
function cal(n) { let ret = 0; let i = 1; for (; i < n; ++i) { ret = ret + f(i); // 重點(diǎn)為 f(i) } } function f(n) { let sum = 0; let i = 1; for (; i < n; ++i) { sum = sum + i; } return sum; }
方法 cal 循環(huán)里面調(diào)用 f 方法,而 f 方法里面也有循環(huán)。
所以,整個(gè) cal() 函數(shù)的時(shí)間復(fù)雜度就是,T(n) = T1(n) T2(n) = O(nn) = O(n2) 。
多個(gè)規(guī)模求加法:比如方法有兩個(gè)參數(shù)控制兩個(gè)循環(huán)的次數(shù),那么這時(shí)就取二者復(fù)雜度相加
function cal(m, n) { let sum_1 = 0; let i = 1; for (; i < m; ++i) { sum_1 = sum_1 + i; } let sum_2 = 0; let j = 1; for (; j < n; ++j) { sum_2 = sum_2 + j; } return sum_1 + sum_2; }
以上代碼也是求和 ,求 sum_1 的數(shù)據(jù)規(guī)模為 m、求 sum_2 的數(shù)據(jù)規(guī)模為 n,所以時(shí)間復(fù)雜度為 O(m+n)。
公式:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n)) 。
多個(gè)規(guī)模求乘法:比如方法有兩個(gè)參數(shù)控制兩個(gè)循環(huán)的次數(shù),那么這時(shí)就取二者復(fù)雜度相乘
function cal(m, n) { let sum_3 = 0; let i = 1; let j = 1; for (; i <= m; ++i) { j = 1; for (; j <= n; ++j) { sum_3 = sum_3 + i * j; } } }
以上代碼也是求和,兩層 for 循環(huán) ,求 sum_3 的數(shù)據(jù)規(guī)模為 m 和 n,所以時(shí)間復(fù)雜度為 O(m*n)。
公式:T1(m) T2(n) = O(f(m) g(n)) 。
3.4 常用的時(shí)間復(fù)雜度分析多項(xiàng)式階:隨著數(shù)據(jù)規(guī)模的增長(zhǎng),算法的執(zhí)行時(shí)間和空間占用,按照多項(xiàng)式的比例增長(zhǎng)。
包括 O(1)(常數(shù)階)、O(logn)(對(duì)數(shù)階)、O(n)(線性階)、O(nlogn)(線性對(duì)數(shù)階)、O(n2) (平方階)、O(n3)(立方階)。
除了 O(logn)、O(nlogn) ,其他的都可從上面的幾個(gè)例子中看到。
下面舉例說明 O(logn)(對(duì)數(shù)階):
let i=1; while (i <= n) { i = i * 2; }
代碼是從 1 開始,每次循環(huán)就乘以 2,當(dāng)大于 n 時(shí),循環(huán)結(jié)束。
其實(shí)就是高中學(xué)過的等比數(shù)列,i 的取值就是一個(gè)等比數(shù)列。在數(shù)學(xué)里面是這樣子的:
20 21 22 ... 2k ... 2x = n
所以,我們只要知道 x 值是多少,就知道這行代碼執(zhí)行的次數(shù)了,通過 2x = n 求解 x,數(shù)學(xué)中求解得 x = log2n 。所以上面代碼的時(shí)間復(fù)雜度為 O(log2n)。
實(shí)際上,不管是以 2 為底、以 3 為底,還是以 10 為底,我們可以把所有對(duì)數(shù)階的時(shí)間復(fù)雜度都記為 O(logn)。為什么呢?
因?yàn)閷?duì)數(shù)之間是可以互相轉(zhuǎn)換的,log3n = log32 log2n,所以 O(log3n) = O(C log2n),其中 C=log32 是一個(gè)常量。
由于 時(shí)間復(fù)雜度 描述的是算法執(zhí)行時(shí)間與數(shù)據(jù)規(guī)模的 增長(zhǎng)變化趨勢(shì),所以 常量、低階、系數(shù) 實(shí)際上對(duì)這種增長(zhǎng)趨勢(shì)不產(chǎn)生決定性影響,所以在做時(shí)間復(fù)雜度分析時(shí) 忽略 這些項(xiàng)。
因此,在對(duì)數(shù)階時(shí)間復(fù)雜度的表示方法里,我們忽略對(duì)數(shù)的 “底”,統(tǒng)一表示為 O(logn)。
下面舉例說明 O(nlogn)(對(duì)數(shù)階):
function aFun(n){ let i = 1; while (i <= n) { i = i * 2; } return i } function cal(n) { let sum = 0; for (let i = 1; i <= n; ++i) { sum = sum + aFun(n); } return sum; }
aFun 的時(shí)間復(fù)雜度為 O(logn),而 cal 的時(shí)間復(fù)雜度為 O(n),所以上面代碼的時(shí)間復(fù)雜度為 T(n) = T1(logn) T2(n) = O(lognn) = O(nlogn) 。
非多項(xiàng)式階:隨著數(shù)據(jù)規(guī)模的增長(zhǎng),算法的執(zhí)行時(shí)間和空間占用暴增,這類算法性能極差。
包括 O(2n)(指數(shù)階)、O(n!)(階乘階)。
O(2n)(指數(shù)階)例子:
aFunc( n ) { if (n <= 1) { return 1; } else { return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2); } }
參考答案:
顯然運(yùn)行次數(shù),T(0) = T(1) = 1,同時(shí) T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1,這里的 1 是其中的加法算一次執(zhí)行。
顯然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一個(gè)斐波那契數(shù)列,通過歸納證明法可以證明,當(dāng) n >= 1 時(shí) T(n) < (5/3)n,同時(shí)當(dāng) n > 4 時(shí) T(n) >= (3/2)n。
所以該方法的時(shí)間復(fù)雜度可以表示為 O((5/3)n),簡(jiǎn)化后為 O(2n)。
可見這個(gè)方法所需的運(yùn)行時(shí)間是以指數(shù)的速度增長(zhǎng)的。
如果大家感興趣,可以試下分別用 1,10,100 的輸入大小來測(cè)試下算法的運(yùn)行時(shí)間,相信大家會(huì)感受到時(shí)間復(fù)雜度的無窮魅力。
時(shí)間復(fù)雜度可以分為:
最好情況時(shí)間復(fù)雜度(best case time complexity):在最理想的情況下,執(zhí)行這段代碼的時(shí)間復(fù)雜度。
最壞情況時(shí)間復(fù)雜度(worst case time complexity):在最糟糕的情況下,執(zhí)行這段代碼的時(shí)間復(fù)雜度。
平均情況時(shí)間復(fù)雜度(average case time complexity),用代碼在所有情況下執(zhí)行的次數(shù)的加權(quán)平均值表示。也叫 加權(quán)平均時(shí)間復(fù)雜度 或者 期望時(shí)間復(fù)雜度。
均攤時(shí)間復(fù)雜度(amortized time complexity): 在代碼執(zhí)行的所有復(fù)雜度情況中絕大部分是低級(jí)別的復(fù)雜度,個(gè)別情況是高級(jí)別復(fù)雜度且發(fā)生具有時(shí)序關(guān)系時(shí),可以將個(gè)別高級(jí)別復(fù)雜度均攤到低級(jí)別復(fù)雜度上。基本上均攤結(jié)果就等于低級(jí)別復(fù)雜度。
舉例說明:
// n 表示數(shù)組 array 的長(zhǎng)度 function find(array, n, x) { let i = 0; let pos = -1; for (; i < n; ++i) { if (array[i] == x) { pos = i; break; } } return pos; }
find 函數(shù)實(shí)現(xiàn)的功能是在一個(gè)數(shù)組中找到值等于 x 的項(xiàng),并返回索引值,如果沒找到就返回 -1 。
最好情況時(shí)間復(fù)雜度,最壞情況時(shí)間復(fù)雜度
如果數(shù)組中第一個(gè)值就等于 x,那么時(shí)間復(fù)雜度為 O(1),如果數(shù)組中不存在變量 x,那我們就需要把整個(gè)數(shù)組都遍歷一遍,時(shí)間復(fù)雜度就成了 O(n)。所以,不同的情況下,這段代碼的時(shí)間復(fù)雜度是不一樣的。
所以上面代碼的 最好情況時(shí)間復(fù)雜度為 O(1),最壞情況時(shí)間復(fù)雜度為 O(n)。
平均情況時(shí)間復(fù)雜度
如何分析平均時(shí)間復(fù)雜度 ?代碼在不同情況下復(fù)雜度出現(xiàn)量級(jí)差別,則用代碼所有可能情況下執(zhí)行次數(shù)的加權(quán)平均值表示。
要查找的變量 x 在數(shù)組中的位置,有 n+1 種情況:在數(shù)組的 0~n-1 位置中和不在數(shù)組中。我們把每種情況下,查找需要遍歷的元素個(gè)數(shù)累加起來,然后再除以 n+1,就可以得到需要遍歷的元素個(gè)數(shù)的平均值,即:
省略掉系數(shù)、低階、常量,所以,這個(gè)公式簡(jiǎn)化之后,得到的平均時(shí)間復(fù)雜度就是 O(n)。
我們知道,要查找的變量 x,要么在數(shù)組里,要么就不在數(shù)組里。這兩種情況對(duì)應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)起來很麻煩,我們假設(shè)在數(shù)組中與不在數(shù)組中的概率都為 1/2。另外,要查找的數(shù)據(jù)出現(xiàn)在 0~n-1 這 n 個(gè)位置的概率也是一樣的,為 1/n。所以,根據(jù)概率乘法法則,要查找的數(shù)據(jù)出現(xiàn)在 0~n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。
因此,前面的推導(dǎo)過程中存在的最大問題就是,沒有將各種情況發(fā)生的概率考慮進(jìn)去。如果我們把每種情況發(fā)生的概率也考慮進(jìn)去,那平均時(shí)間復(fù)雜度的計(jì)算過程就變成了這樣:
這個(gè)值就是概率論中的 加權(quán)平均值,也叫 期望值,所以平均時(shí)間復(fù)雜度的全稱應(yīng)該叫 加權(quán)平均時(shí)間復(fù)雜度 或者 期望時(shí)間復(fù)雜度。
所以,根據(jù)上面結(jié)論推導(dǎo)出,得到的 平均時(shí)間復(fù)雜度 仍然是 O(n)。
均攤時(shí)間復(fù)雜度
均攤時(shí)間復(fù)雜度就是一種特殊的平均時(shí)間復(fù)雜度 (應(yīng)用場(chǎng)景非常特殊,非常有限,這里不說)。
3.6 時(shí)間復(fù)雜度總結(jié)常用的時(shí)間復(fù)雜度所耗費(fèi)的時(shí)間從小到大依次是:
O(1) < O(logn) < (n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(nn)
常見的時(shí)間復(fù)雜度:
3.7 空間復(fù)雜度分析時(shí)間復(fù)雜度的全稱是 漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度,表示 算法的執(zhí)行時(shí)間與數(shù)據(jù)規(guī)模之間的增長(zhǎng)關(guān)系 。
類比一下,空間復(fù)雜度全稱就是 漸進(jìn)空間復(fù)雜度(asymptotic space complexity),表示 算法的存儲(chǔ)空間與數(shù)據(jù)規(guī)模之間的增長(zhǎng)關(guān)系 。
定義:算法的空間復(fù)雜度通過計(jì)算算法所需的存儲(chǔ)空間實(shí)現(xiàn),算法的空間復(fù)雜度的計(jì)算公式記作:S(n) = O(f(n)),其中,n 為問題的規(guī)模,f(n) 為語句關(guān)于 n 所占存儲(chǔ)空間的函數(shù)。
function print(n) { const newArr = []; // 第 2 行 newArr.length = n; // 第 3 行 for (let i = 0; i= 0; --j) { console.log(newArr[i]) } }
跟時(shí)間復(fù)雜度分析一樣,我們可以看到,第 2 行代碼中,我們申請(qǐng)了一個(gè)空間存儲(chǔ)變量 newArr ,是個(gè)空數(shù)組。第 3 行把 newArr 的長(zhǎng)度修改為 n 的長(zhǎng)度的數(shù)組,每項(xiàng)的值為 undefined ,除此之外,剩下的代碼都沒有占用更多的空間,所以整段代碼的空間復(fù)雜度就是 O(n)。
我們常見的空間復(fù)雜度就是 O(1)、O(n)、O(n2),像 O(logn)、O(nlogn) 這樣的對(duì)數(shù)階復(fù)雜度平時(shí)都用不到。
4. 如何掌握好復(fù)雜度分析方法 ?復(fù)雜度分析關(guān)鍵在于多練,所謂孰能生巧。
平時(shí)我們?cè)趯懘a時(shí),是用 空間換時(shí)間 還是 時(shí)間換空間,可以根據(jù)算法的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度來衡量。
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參考文章:
復(fù)雜度分析(上):如何分析、統(tǒng)計(jì)算法的執(zhí)行效率和資源消耗?
(數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu))十分鐘搞定算法時(shí)間復(fù)雜度
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摘要:筆者寫的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法之美系列用的語言是,旨在入門數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法和方便以后復(fù)習(xí)。這應(yīng)該是目前較為簡(jiǎn)單的十大經(jīng)典排序算法的文章講解了吧。比如原本在的前面,而,排序之后,在的后面十大經(jīng)典排序算法冒泡排序思想冒泡排序只會(huì)操作相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)。 showImg(https://segmentfault.com/img/bVbvHet); 1. 前言 算法為王。想學(xué)好前端,先練好內(nèi)功,內(nèi)功不行,就...
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