動態(tài)規(guī)劃入門（以爬樓梯為例）

cyixlq 發(fā)布于2019-08-23 10:52 / 935人閱讀

摘要：動態(tài)規(guī)劃算法通常基于一個遞推公式及一個或多個初始狀態(tài)。動態(tài)規(guī)劃有三個核心元素最優(yōu)子結(jié)構(gòu)邊界狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程我們來看一到題目題目有一座高度是級臺階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上級或者級臺階。

概念

動態(tài)規(guī)劃(dynamic programming)是運籌學的一個分支，是求解決策過程(decision process)最優(yōu)化的數(shù)學方法。
動態(tài)規(guī)劃算法通常基于一個遞推公式及一個或多個初始狀態(tài)。當前子問題的解將由上一次子問題的解推出。

基本思想

要解決一個給定的問題，我們需要解決其不同部分（即解決子問題），再合并子問題的解以得出原問題的解。
通常許多子問題非常相似，為此動態(tài)規(guī)劃法試圖只解決每個子問題一次，從而減少計算量。
一旦某個給定子問題的解已經(jīng)算出，則將其記憶化存儲，以便下次需要同一個子問題解之時直接查表。
這種做法在重復子問題的數(shù)目關(guān)于輸入的規(guī)模呈指數(shù)增長時特別有用。
動態(tài)規(guī)劃有三個核心元素：
1.最優(yōu)子結(jié)構(gòu)
2.邊界
3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

我們來看一到題目

題目

有一座高度是10級臺階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上1級或者2級臺階。求出一共有多少種走法。

比如，每次走1級臺階，一共走10步，這是其中一種走法。
再比如，每次走2級臺階，一共走5步，這是另一種走法。

但是這樣一個個算太麻煩了，我們可以只去思考最后一步怎么走，如下圖

這樣走到第十個樓梯的走法 = 走到第八個樓梯 + 走到第九個樓梯
我們用f(n)來表示走到第n個樓梯的走法，所以就有了f(10) = f(9) + f(8)
然后f(9) = f(8) + f(7), f(8) = f(7) + f(6)......

這樣我們就得出來一個遞歸式：
f(n) = f(n-1) + f(n-2);
還有兩個初始狀態(tài)：
f(1) = 1;
f(2) = 2;

這樣就得出了第一種解法

方法一：遞歸求解

function getWays(n) {

    if (n < 1) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;

    return getWays(n-1) + getWays(n-2); 
}

這種方法的時間復雜度為O(2^n)

可以看到這是一顆二叉樹，數(shù)的節(jié)點個數(shù)就是我們遞歸方程需要計算的次數(shù)，
數(shù)的高度為N，節(jié)點個數(shù)近似于2^n
所以時間復雜度近似于O(2^n)

但是這種方法能不能優(yōu)化呢？
我們會發(fā)現(xiàn)有些值被重復計算，如下圖

相同顏色代表著重復的部分，那么我們可不可以把這些重復計算的值記錄下來呢？
這樣的優(yōu)化就有了第二種方法

方法二：備忘錄算法

const map = new Map(); 
function getWays(n) {

    if (n < 1) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;

    if (map.has(n)) {
        return map.get(n);
    }
    const value = getWays(n-1) + getWays(n-2);
    map.set(n, value);
    return value; 
}

因為map里最終會存放n-2個鍵值對，所以空間復雜度為O(n),時間復雜度也為O(n)

繼續(xù)想一想這就是最優(yōu)的解決方案了嗎？

我們回到一開始的思路，我們是假定前面的樓梯已經(jīng)走完，只考慮最后一步，所以才得出來f(n) = f(n-1) + f(n-2)的遞歸式，這是一個置頂向下求解的式子
一般來說，按照正常的思路應該是一步一步往上走，應該是自底向上去求解才比較符合正常人的思維，我們來看看行不行的通

這是一開始走的一個和兩個樓梯的走法數(shù),即之前說的初始狀態(tài)

這是進行了一次迭代得出了3個樓梯的走法，f(3)只依賴于f(1) 和 f(2)

繼續(xù)看下一步

這里又進行了一次迭代得出了4個樓梯的走法，f(4)只依賴于f(2) 和 f(3)

我們發(fā)現(xiàn)每次迭代只需要前兩次迭代的數(shù)據(jù)，不用像備忘錄一樣去保存所有子狀態(tài)的數(shù)據(jù)

方法三：動態(tài)規(guī)劃求解

function getWays(n) {

    if (n < 1) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;

    // a保存倒數(shù)第二個子狀態(tài)數(shù)據(jù)，b保存倒數(shù)第一個子狀態(tài)數(shù)據(jù)， temp 保存當前狀態(tài)的數(shù)據(jù)
    let a = 1, b = 2;
    let temp = a + b;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        temp = a + b;
        a = b;
        b = temp; 
    }
    return temp; 
}

這是我們可以再看看當前的時間復雜度和空間復雜度
當前時間復雜度仍為O(n)，但空間復雜度降為O(1)
這就是理想的結(jié)果

總結(jié)

這只是動態(tài)規(guī)劃里最簡單的題目之一，因為它只有一個變化維度
當變化維度變成兩個、三個甚至更多時，會更加復雜，背包問題就是比較典型的多維度問題，有興趣的可以去網(wǎng)上看看《背包九講》