摘要：數(shù)字?jǐn)?shù)字都是浮點(diǎn)數(shù)，按照標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行存儲(chǔ)。因此，只有偶數(shù)可以在范圍內(nèi)表示。但只有超過指數(shù)的上限才稱為中的溢出。結(jié)論在這篇博文中，我們研究了如何將其浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換為位。

JavaScript中的所有數(shù)字都是浮點(diǎn)數(shù)。這篇博客文章解釋了這些浮點(diǎn)數(shù)如何在64位二進(jìn)制內(nèi)部表示。由于特別考慮，本文中的數(shù)字將用整數(shù)表示，以便在閱讀本文后，您將了解在以下交互中會(huì)發(fā)生什么：

（譯者注：浮點(diǎn)數(shù)并不一定等于小數(shù)，定點(diǎn)數(shù)也并不一定就是整數(shù)。所謂浮點(diǎn)數(shù)就是小數(shù)點(diǎn)在邏輯上是不固定的，而定點(diǎn)數(shù)只能表示小數(shù)點(diǎn)固定的數(shù)值，具用浮點(diǎn)數(shù)或定點(diǎn)數(shù)表示某哪一種數(shù)要看用戶賦予了這個(gè)數(shù)的意義是什么。）

    > 9007199254740992 + 1
    9007199254740992

    > 9007199254740992 + 2
    9007199254740994

JavaScript數(shù)字都是浮點(diǎn)數(shù)，按照IEEE 754 standard標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行存儲(chǔ)。該標(biāo)準(zhǔn)有幾種格式。 JavaScript使用binary64或雙精度。正如前面的名稱所表示的，數(shù)字以二進(jìn)制格式存儲(chǔ)在64位中。這些比特分配如下：分?jǐn)?shù)占據(jù)比特0到51，指數(shù)占據(jù)比特52到62，符號占用比特63。

| sign (1 bit)
63

| exponent (11 bit)

62

52

| fraction (52 bit)

51

|

這些組件的工作原理如下：如果符號位為0，則數(shù)字為正數(shù)，否則為負(fù)數(shù)。粗略地說，分?jǐn)?shù)包含數(shù)字的值，而指數(shù)表示該點(diǎn)的位置。在下面，我們經(jīng)常使用二進(jìn)制數(shù)字，這在浮點(diǎn)數(shù)方面有點(diǎn)不尋常。二進(jìn)制數(shù)字將以前綴??百分比符號（％）標(biāo)記。雖然JavaScript數(shù)字以二進(jìn)制格式存儲(chǔ)，但默認(rèn)輸出為十進(jìn)制[1]。在示例中，我們通常會(huì)使用該默認(rèn)值。

以下是表示非負(fù)浮點(diǎn)數(shù)的一種方法：有效數(shù)（或尾數(shù)）包含數(shù)字，作為自然數(shù)，指數(shù)指定點(diǎn)的左邊（負(fù)指數(shù)）或右邊（正指數(shù)）的點(diǎn)數(shù)應(yīng)該轉(zhuǎn)移。 JavaScript數(shù)字使用有理數(shù)作為有效數(shù)：1._f_其中_f_是52位小數(shù)。忽略符號，數(shù)字是有效數(shù)字乘以2_p_，其中_p_是指數(shù)（在稍后將解釋的轉(zhuǎn)換之后）。

比如:

| f = %101, p = 2 | Number: %1.101 × 22 = %110.1 |
| f = %101, p = ?2 | Number: %1.101 × 2?2 = %0.01101 |
| f = 0, p = 0 | Number: %1.0 × 20 = %1 |

整數(shù)的編碼有多少位？有效數(shù)字有53個(gè)數(shù)字，一個(gè)在點(diǎn)之前，52個(gè)點(diǎn)。用_p_ = 52，我們有一個(gè)53位的自然數(shù)。唯一的問題是最高位始終為1.也就是說，我們沒有全部位可供我們隨意使用。分兩步去除這個(gè)限制。首先，如果你需要一個(gè)最高位為0的53位數(shù)，然后是1，那么你設(shè)置_p_ = 51.分?jǐn)?shù)的最低位成為該點(diǎn)之后的第一個(gè)數(shù)字，整數(shù)為0。依此類推，直到你處于編碼數(shù)字1的_p_ = 0和_f_ = 0。

| | 52 | 51 | 50 | ... | 1 | 0 | (bits) |
| p=52 | 1 | f51 | f50 | ... | f1 | f0 | |
| p=51 | 0 | 1 | f51 | ... | f2 | f1 | f0=0 |
| | ... |
| p=0 | 0 | 0 | 0 | ... | 0 | 1 | f51=0, etc. |

其次，對于全部53位，我們?nèi)匀恍枰硎玖恪Ｈ绾巫龅竭@一點(diǎn)在下一節(jié)中解釋。請注意，由于符號是多帶帶存儲(chǔ)的，因此整數(shù)的幅度（絕對值）為53位。

指數(shù)的長度是11位，這意味著它的最低值是0，最高值是2047（211-1）。為了支持負(fù)指數(shù)，使用所謂的偏移二進(jìn)制編碼：1023是零，所有較低數(shù)字都是負(fù)數(shù)，所有較高數(shù)字都是正數(shù)。這意味著你從指數(shù)中減去1023將其轉(zhuǎn)換為正常數(shù)字。因此，我們以前使用的變量_p_等于_e_-1023，并且有效數(shù)字乘以2_e_-1023。

偏移量二進(jìn)制編碼中的一些數(shù)字：

    %00000000000     0  →  ?1023  (lowest number)
    %01111111111  1023  →      0
    %11111111111  2047  →   1024  (highest number)
                         
    %10000000000  1024  →      1
    %01111111110  1022  →     ?1 

你倒置它的位并減1就能將一個(gè)數(shù)變?yōu)樨?fù)數(shù)了。

兩個(gè)指數(shù)值是保留的：最低的一個(gè)（0）和最高的一個(gè)（2047）。 2047的指數(shù)用于無窮大和NaN（非數(shù)字）值[2]。 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)有許多NaN值，但JavaScript都將它們表示為單個(gè)值NaN。指數(shù)0用于兩種能力。首先，如果分?jǐn)?shù)也是0，那么整數(shù)就是0.由于符號是分開存儲(chǔ)的，我們同時(shí)具有-0和+0（詳見[3]）。

其次，0的指數(shù)也用于表示非常小的數(shù)字（接近零）。然后該分?jǐn)?shù)必須是非零的，如果是正數(shù)，則通過計(jì)算該數(shù)字

%0._f_ × 2?1022

這種表示是_非規(guī)范化_。先前討論的表示被稱為_標(biāo)準(zhǔn)化_。可以以規(guī)范化方式表示的最小的正數(shù)（非零）數(shù)是

%1.0 × 2?1022

最大的非正規(guī)化數(shù)字是

%0.1 × 2?1022

因此，在標(biāo)準(zhǔn)化和非標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)字之間切換時(shí)沒有漏洞。

| (?1)_s_ × %1._f_ × 2_e_?1023 | normalized, 0 < e < 2047 |
| (?1)_s_ × %0._f_ × 2_e_?1022 | denormalized, e = 0, f > 0 |
| (?1)_s_ × 0 | e = 0, f = 0 |
| NaN | e = 2047, f > 0 |
| (?1)_s_ × ∞ (infinity) | e = 2047, f = 0 |

用_p_ = e - 1023，指數(shù)的范圍是

?1023 < p < 1024

并非所有小數(shù)都可以用JavaScript精確表示，如下所示：

    > 0.1 + 0.2
    0.30000000000000004

小數(shù)部分0.1和0.2都不能精確地表示為二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)。但是，與實(shí)際值的偏差通常太小而不能顯示。加法導(dǎo)致偏差變得可見。另一個(gè)例子：

    > 0.1 + 1 - 1
    0.10000000000000009

表示0.1對于表示分?jǐn)?shù)110來說是個(gè)挑戰(zhàn)。困難的部分是分母10，其分母的因子分解是2×5.指數(shù)只允許你用2的冪除整數(shù)，所以沒有辦法得到5英寸。比較：13不能精確地表示為小數(shù)部分。它近似于0.333333 ...

相反，將二進(jìn)制小數(shù)表示為小數(shù)部分總是可能的，您只需要收集足夠多的二進(jìn)制數(shù)（其中每十個(gè)都有一個(gè)）。例如：

%0.001 = 18 = 12 × 2 × 2 = 5 × 5 × 5(2×5) × (2×5) × (2×5) = 12510 × 10 × 10 = 0.125

因此，當(dāng)您使用具有小數(shù)值的小數(shù)輸入時(shí)，不應(yīng)直接比較它們。相反，考慮舍入誤差的上限。這樣的上限稱為machine epsilon。雙精度的標(biāo)準(zhǔn)epsilon值是2-53。

    var epsEqu = function () { // IIFE, keeps EPSILON private
        var EPSILON = Math.pow(2, -53);
return function epsEqu(x, y) {
            return Math.abs(x - y) < EPSILON;
};
}();

上述功能可確保在正常比較不充分的情況下獲得正確結(jié)果：

    > 0.1 + 0.2 === 0.3
    false
    > epsEqu(0.1+0.2, 0.3)
    true

如果有人說“_x_是最大整數(shù)”，這意味著什么？這意味著可以表示范圍為0≤_n_≤_x_的每個(gè)整數(shù)_n_，并且對于大于_x_的任何整數(shù)都不能成立。 253符合該法案。以前的所有數(shù)字都可以表示：

    > Math.pow(2, 53)
    9007199254740992
    > Math.pow(2, 53) - 1
    9007199254740991
    > Math.pow(2, 53) - 2
    9007199254740990

但是下一個(gè)整數(shù)不能被表示：

    > Math.pow(2, 53) + 1
    9007199254740992

253的一些方面是上限可能是令人驚訝的。我們將通過一系列問題來看待他們。要記住的一件事是整數(shù)范圍的高端限制資源是分?jǐn)?shù);指數(shù)仍有增長空間。

為什么是53位？您有53位可用于幅度（不包括符號），但分?jǐn)?shù)只包含52位。這怎么可能？正如您在上面看到的那樣，指數(shù)提供了第53位：它移動(dòng)了分?jǐn)?shù)，因此除零之外的所有53位數(shù)都可以表示，并且它有一個(gè)特殊值來表示零（連同零的一部分）。

為什么最高的整數(shù)不是253-1？通常，_x_位表示最低的數(shù)字是0，最高的數(shù)字是2_x_-1。例如，最高的8位數(shù)字是255.在JavaScript中，最高分?jǐn)?shù)確實(shí)用于數(shù)字253-1，但可以表示253，這要?dú)w功于指數(shù)的幫助 - 它僅僅是一個(gè)分?jǐn)?shù)_f_ = 0并且指數(shù)_p_ = 53（轉(zhuǎn)換后）：

%1._f_ × 2_p_ = %1.0 × 253 = 253

為什么高于253的數(shù)字可以代表？

示例：

    > Math.pow(2, 53)
    9007199254740992
    > Math.pow(2, 53) + 1  // not OK
    9007199254740992
    > Math.pow(2, 53) + 2  // OK
    9007199254740994

    > Math.pow(2, 53) * 2  // OK
    18014398509481984

253×2的作品，因?yàn)橹笖?shù)可以使用。每乘以2只是將指數(shù)遞增1并且不影響分?jǐn)?shù)。因此，就最大分?jǐn)?shù)而言，乘以2的冪不是問題。為了明白為什么可以加2到253，而不是1，我們用前面的表擴(kuò)展53和54的附加位，以及_p_ = 53和_p_ = 54的行：

| | 54 | 53 | 52 | 51 | 50 | ... | 2 | 1 | 0 | (bits) |
| p=54 | 1 | f51 | f50 | f49 | f48 | ... | f0 | 0 | 0 | |
| p=53 | | 1 | f51 | f50 | f49 | ... | f1 | f0 | 0 | |
| p=52 | | | 1 | f51 | f50 | ... | f2 | f1 | f0 | |

查看行（_p_ = 53），應(yīng)該很明顯，JavaScript數(shù)字可以將位53設(shè)置為1.但是，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)_f_只有52位，所以位0必須為零。因此，只有偶數(shù)_x_可以在253≤_x_ <254范圍內(nèi)表示。在行（_p_ = 54）中，該間距增加到4的倍數(shù)，范圍在254≤_x_ <255：

    > Math.pow(2, 54)
    18014398509481984
    > Math.pow(2, 54) + 1
    18014398509481984
    > Math.pow(2, 54) + 2
    18014398509481984
    > Math.pow(2, 54) + 3
    18014398509481988
    > Math.pow(2, 54) + 4
    18014398509481988

等等...

IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)描述了五個(gè)例外，其中一個(gè)不能計(jì)算精確的值：

無效：執(zhí)行了無效操作。例如，計(jì)算負(fù)數(shù)的平方根。返回NaN [2]。

    > Math.sqrt(-1)
    NaN

除以零：返回正負(fù)無窮[2]。

    > 3 / 0
    Infinity
    > -5 / 0
    -Infinity

溢出：結(jié)果太大而無法表示。這意味著指數(shù)太高（_p_≥1024）。根據(jù)符號，有正面和負(fù)面溢出。返回正負(fù)無窮。

    > Math.pow(2, 2048)
    Infinity
    > -Math.pow(2, 2048)
    -Infinity

下溢：結(jié)果太接近零來表示。這意味著指數(shù)太低（_p_≤-1023）。返回非規(guī)格化的值或零。

    > Math.pow(2, -2048)
    0

不精確：操作產(chǎn)生了不準(zhǔn)確的結(jié)果 - 要保留的分?jǐn)?shù)有太多有效數(shù)字。返回一個(gè)舍入結(jié)果。

    > 0.1 + 0.2
    0.30000000000000004
    
    > 9007199254740992 + 1
    9007199254740992

＃3和＃4是關(guān)于指數(shù)，＃5是關(guān)于分?jǐn)?shù)。 ＃3和＃5之間的區(qū)別非常微妙：在第五個(gè)例子中，我們超過了分?jǐn)?shù)的上限（這將是整數(shù)計(jì)算中的溢出）。但只有超過指數(shù)的上限才稱為IEEE 754中的溢出。

在這篇博文中，我們研究了JavaScript如何將其浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換為64位。它根據(jù)IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)中的雙精度進(jìn)行。由于數(shù)字的顯示方式，人們往往會(huì)忘記JavaScript不能精確地表示分母的因子分解包含2以外的數(shù)字的小數(shù)部分。例如，可以表示0.5（12），而0.6（35）不能表示。人們也往往忘記了三個(gè)組件符號，指數(shù)，一個(gè)數(shù)字的小數(shù)部分一起工作來表示一個(gè)整數(shù)。但是，當(dāng)Math.pow（2，53）+ 2可以表示時(shí)，會(huì)遇到這種情況，但Math.pow（2，53）+ 1不能。

網(wǎng)頁“IEEE-754 Analysis”允許您輸入一個(gè)數(shù)字并查看其內(nèi)部表示。

這篇文章的來源：

“IEEE Standard 754 Floating-Point” by Steve Hollasch.

“Data Types and Scaling (Fixed-Point Blockset)” in the MATLAB documentation.

“IEEE 754-2008” on Wikipedia.

This post is part of a series on JavaScript numbers, which includes:

Displaying numbers in JavaScript

NaN and Infinity in JavaScript

JavaScript’s two zeros