摘要：前言本篇主要講坐標旋轉及其應用，這是編程動畫必不可少的技術。坐標旋轉模擬場景已知一個中心點，旋轉前物體，旋轉弧度求旋轉后物體。坐標旋轉常見的應用就是處理這種情況，將不規律方向的復雜問題簡單化。

本篇主要講坐標旋轉及其應用，這是編程動畫必不可少的技術。
閱讀本篇前請先打好前面的基礎。
本人能力有限，歡迎牛人共同討論，批評指正。

模擬場景：已知一個中心點（centerX,centerY），旋轉前物體ball（x1,y1），旋轉弧度（rotation）；求旋轉后物體（x2,y2）。（如下圖）

坐標旋轉就是說圍繞某個點旋轉坐標，我們要依據旋轉的角度（弧度），計算出物體旋轉前后的坐標，一般有兩種方法：

靈活運用前章節的三角函數知識可以很容易解決，基本思路：

計算物體初始相對于中心點的位置；

使用atan2計算弧度angle；

使用勾股定理計算半徑radius；

angle+rotation后使用cos計算旋轉后x軸位置，用sin計算旋轉后y軸位置。

下面是示例是采用這種方法的圓周運動，其中vr為ball相對于中心點的弧度變化速度，由于旋轉半徑是固定的，所以沒有在動畫循環里每次都獲取。
完整示例：簡單坐標旋轉演示

/**
 * 簡單坐標旋轉演示
 * */
window.onload = function () {
  const canvas = document.getElementById("canvas");
  const context = canvas.getContext("2d");
  const ball = new Ball();
  ball.x = 300;
  ball.y = 200;
  // 弧度變化速度
  const vr = 0.05;
  // 中心點位置設定在畫布中心
  const centerX = canvas.width / 2;
  const centerY = canvas.height / 2;
  // ball相對與中心點的距離
  const dx = ball.x - centerX;
  const dy = ball.y - centerY;
  // ball相對與中心點的弧度
  let angle = Math.atan2(dy, dx);
  // 旋轉半徑
  const radius = Math.sqrt(dx ** 2 + dy ** 2);

  (function drawFrame() {
    window.requestAnimationFrame(drawFrame, canvas);
    context.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);

    ball.x = centerX + Math.cos(angle) * radius;
    ball.y = centerY + Math.sin(angle) * radius;
    angle += vr;
    ball.draw(context);
  }());
};

上面的方法對于單個物體來說是很合適的，特別是角度和半徑只需計算一次的情況。但是在更動態的場景中，可能需要旋轉多個物體，而他們相對于中心點的位置各不相同。所以每一幀都要計算每個物體的距離、角度和半徑，然后把vr累加在角度上，最后計算物體新的坐標。這樣顯然不會是優雅的做法。
理想的做法是用數學方法推導出旋轉角度與位置的關系，直接每次代入計算即可。推導過程如下圖：

其實推導過程不重要，我們只需要記住如下兩組公式，其中dx2和dy2是ball結束點相對于中心點的距離，所以得到物體結束點，還要分別加上中心點坐標。

// 正向選擇
dx2 = (x1 - centerX) * cos(rotation) - (y1 - centerY) * sin(rotation)
dy2 = (y1 - centerY) * cos(rotation) + (x1 - centerX) * sin(rotation)
// 反向選擇
dx2 = (x1 - centerX) * cos(rotation) + (y1 - centerY) * sin(rotation)
dy2 = (y1 - centerY) * cos(rotation) - (x1 - centerX) * sin(rotation)

下面是示例是采用這種方法的圓周運動，其中dx1和dy1是ball起始點相對于中心點的距離，dx2和dy2是ball結束點相對于中心點的距離。
完整示例：高級坐標旋轉演示

/**
 * 高級坐標旋轉演示
 * */
window.onload = function () {
  const canvas = document.getElementById("canvas");
  const context = canvas.getContext("2d");
  const ball = new Ball();
  ball.x = 300;
  ball.y = 200;
  // 弧度變化速度
  const vr = 0.05;
  // 中心點位置設定在畫布中心
  const centerX = canvas.width / 2;
  const centerY = canvas.height / 2;
  // 由于vr是固定的可以先計算正弦和余弦
  const cos = Math.cos(vr);
  const sin = Math.sin(vr);

  (function drawFrame() {
    window.requestAnimationFrame(drawFrame, canvas);
    context.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);

    // ball相對與中心點的距離
    const dx1 = ball.x - centerX;
    const dy1 = ball.y - centerY;
    // 代入公式求出ball在結束相對與中心點的距離
    const dx2 = dx1 * cos - dy1 * sin;
    const dy2 = dy1 * cos + dx1 * sin;
    // 求出x2，y2
    ball.x = centerX + dx2;
    ball.y = centerY + dy2;
    ball.draw(context);
  }());
};

前面的章節中我們介紹過越界的一種處理辦法是反彈，由于邊界是矩形，反彈面垂直或水平，所以可以直接將對應軸的速度取反即可，但對于非垂直或水平的反彈面這種方法是不適用的。
坐標旋轉常見的應用就是處理這種情況，將不規律方向的復雜問題簡單化。
基本思路：（旋轉前后如圖）

使用旋轉公式，旋轉整個系統，將斜面場景轉變為水平場景；

在水平場景中處理反彈；

再旋轉回來。

示例是一個球掉落到一條線上，球受到重力加速度影響下落，碰到斜面就會反彈，每次反彈都會損耗速度。
完整示例：斜面反彈示例

window.onload = function () {
  const canvas = document.getElementById("canvas");
  const context = canvas.getContext("2d");
  const ball = new Ball();
  // line類構造函數參數（開始點x軸坐標，開始點y軸坐標，結束點x軸坐標，結束點y軸坐標）
  const line = new Line(0, 0, 500, 0);
  // 設置重力加速度
  const gravity = 0.2;
  // 設置反彈系數
  const bounce = -0.6;

  ball.x = 100;
  ball.y = 100;

  line.x = 0;
  line.y = 200;
  line.rotation = 10 * Math.PI / 180;

  const cos = Math.cos(line.rotation);
  const sin = Math.sin(line.rotation);

  (function drawFrame() {
    window.requestAnimationFrame(drawFrame, canvas);
    context.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);

    ball.vy += gravity;
    ball.x += ball.vx;
    ball.y += ball.vy;

    // 獲取ball與line的相對位置
    let x1 = ball.x - line.x;
    let y1 = ball.y - line.y;
    // 旋轉坐標系（反向）
    let y2 = y1 * cos - x1 * sin;

    // 依據旋轉值執行反彈
    if (y2 > -ball.radius) {
      // 旋轉坐標系（反向）
      const x2 = x1 * cos + y1 * sin;
      // 旋轉速度（反向）
      const vx1 = ball.vx * cos + ball.vy * sin;
      let vy1 = ball.vy * cos - ball.vx * sin;

      y2 = -ball.radius;
      vy1 *= bounce;

      // 將所有東西回轉（正向）
      x1 = x2 * cos - y2 * sin;
      y1 = y2 * cos + x2 * sin;
      ball.vx = vx1 * cos - vy1 * sin;
      ball.vy = vy1 * cos + vx1 * sin;
      ball.x = line.x + x1;
      ball.y = line.y + y1;
    }

    ball.draw(context);
    line.draw(context);
  }());
};