摘要：說起浮點數，大家都是又恨又愛的。當小數不為時，浮點數的值為，即不是一個數。所以，整個浮點數的二進制表示就是。最后其實，浮點數有很多坑。因此，我們在使用浮點數的時候，一定要小心。還有，涉及到金額計算的時候，一定不能使用浮點數。

本文為作者自己的總結的，由于作者的水平限制，難免會有錯誤，歡迎大家指正，感激不盡。

說起浮點數，大家都是又恨又愛的。愛呢，是因為，只有它可以方便地使用小數；恨呢，是因為它并不能精確地表示小數。

以 PHP 為例：floor((0.1 + 0.7) * 10) 這樣一個函數調用，根據數學老師死得晚原理，大家都能得出 8 這個結果?？墒鞘聦嵣夏?？它會返回 7。數學老師的棺材板。。。(╯‵□′)╯︵┻━┻

可是為什么會出現這種情況呢？這就要從浮點數的特性說起了。

我們都知道，在計算機中，一切的一切都是二進制表示的。假設一個 4 字節整型的十進制數 8，在大端表示的機器中，表示成 00000000 00000000 00000000 00001000（0x0000008）。將十進制整數轉換成二進制數，是非常容易的。可是，小數呢？比如，我們要表示 1.75，該怎么存儲在計算機中呢？顯然，不能像整數一樣存儲了。

讓我們回憶一下，在十進制中，小數是怎么計算的。上面的 1.75 我們是這么算的：1 × 10^0 + 7 × 10^-1 + 5 × 10^-2 。那么我們按照相同的規則，來用二進制計算一下小數部分：0.75 = 1/2 + 1/4，也就是 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 ，再加上前面的整數部分，那么整個式子就變成了 1 × 2^0 + 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 ，寫成二進制形式就是 1.11。所以，1.75 的二進制表示是 1.11。

對于將小數轉換為二進制，和整數部分除二取余相反的，是乘二取整。

0.75 * 2 = 1.5 -> 1
0.5 * 2 = 1 -> 1

所以我們同樣可以得出 1.11。

好了，我們已經知道如何表示一個小數的二進制了。辣么，問題來了。學過 C 語言的同學都知道，一個 float 只有 4 字節，一個 double 也只有 8 字節。那么，這么表示一個小數，好像范圍很有限。

在數學老師哭暈在廁所之前，我們應該還記得十進制數中有這么一個東西——科學計數法，我們可以很方便地用它來表示很大的十進制數。那么，同理，我們也可以用在浮點數的表示上。

讓我們先來回憶一下，科學計數法的表示。假設我們有一個數 17500，我們可以用科學計數法表示成 1.75 × 10^4 。我們照葫蘆畫瓢，在二進制數中，假設有一個數是 11010。我們來和十進制對應一下。十進制是乘 10，那么二進制就是乘 2，我們對應的就可以寫成 1.101 × 2^100 。對，其實就是這么簡單。那也許有的人會問了，為什么不寫成 0.1101 × 2^101 呢？我們再來回憶一下，在十進制科學計數法中，是不是有一個規定，整數部分的范圍是 [1,10)。那對應到我們的二進制數上，這個規定就可以變成 [1,2) 了，沒錯，對應關系就是這么簡單。

好了，我們現在也知道怎么使用二進制來表示小數，以及使用科學計數法來表示二進制小數了。那么，我們距離把數字存入計算機內存僅剩一步之遙了，我們要把所有的東西存到內存里去，那么我們就需要合理地分配內存空間。浮點數有兩種，一種是單精度浮點數（float），占用 4 字節的內存。其中，1 位是符號位，8 位是階碼（冪），23 位是尾數（小數部分）。

細心的各位可能會發現，好像沒有整數部分？別急，這就是上面那個規定的有用之處。當整數部分在 [1,2) 之間時，也就只可能取到一個值 1，那么，對于這個值，我們是不是就可以當做默認值而不記錄在浮點數的表示中了？而這樣，我們的浮點數的精度又多了一位（小數部分的位數決定了精度）。這種表示叫做隱含 1 開頭的表示。

到了這里，我們發現，第一位是浮點數的正負符號，那么，對于一個科學計數法來說，階碼同樣需要有正負。而在單精度中，階碼只有 8 位；雙精度中，階碼只有 11 位。如果我們給階碼表示成補碼，那么，我們能夠表示的數的范圍就會縮小，這樣顯然是不劃算的。于是，偏置值就由此誕生了。

在內存中的規格化的浮點數表示中，階碼并非是 2 的冪，而是經過計算的結果，這個計算公式就是 e - Bias，這里的 Bias 就是偏置值，而 e 就是階碼在浮點數中的二進制表示。Bias 的值是 2^k-1 - 1（單精度是 127，雙精度是 1023），所以，e - Bias 的取值范圍就是 [-126, 127]（單精度）和 [-1022, 1023]（雙精度）。其實如果對補碼了解的比較好的同學，應該就能看出來，這其實就是省略了符號位的補碼表示）。

通過上面的隱含 1 開頭的表示的尾數，我們可以計算出基數 M = 1 + f。那么我們整個的浮點數可以寫成這樣一個表達式：M × (e - Bias)。

對于規格化和非規格化的值來說，我們都可以用同一個式子來表示。不過，為了某些更加方便的原因（這里就不展開講了），對它們做了區分。如果按照規格化的計算來看，階碼的值是 0 - Bias，不過在這里，我們讓階碼的值等于 1 - Bias。同樣的，由于我們給階碼加了 1，那么整個浮點數就會向左移動一位，那么，我們需要讓浮點數的值不變，M 就不在需要上面整數部分的 1 了，所以 M = f。

同時，我們會發現一個問題，那就是 +0.0 和 -0.0 在浮點數的二進制表示上是不同的。

最后，還剩下這樣一種數字，那就是階碼全為 1 的情況。當小數為 0 的時候，浮點數的值為 ∞。當小數不為 0 時，浮點數的值為 NaN，即不是一個數（Not a Number）。

好了，扯了這么多，我們現在回到最開始的問題上，floor((0.1 + 0.7) * 10) = 7。我們先看 0.1 的二進制表示。

首先，我們將十進制小數轉換成二進制小數，可以得到 0.000[1100]···。讓我們轉換成浮點數的二進制表示。按照上面的規則，它可以被表示成科學計數法 1.10011001100110011001100 × 2^-4 ，這樣，階碼就是 -4 + 127 = 123，二進制表示為 01111011。所以，整個浮點數的二進制表示就是 00111101110011001100110011001100(0x3dcccccc)。同樣的，0.7 會表示為00111101001100110011001100110011(0x3d333333)。

首先我們要對階碼小的數進行對階，然后再進行尾數的加法，這樣，我們得到的值就是 00111101111001100110011001100101。我們將其轉換成十進制，發現，它是小于 0.8 的。因此，當我們再進行乘法運算向下取整時，會等于 7。

其實，浮點數有很多坑。因此，我們在使用浮點數的時候，一定要小心。還有，涉及到金額計算的時候，一定不能使用浮點數。

本文為作者自己讀書總結的文章，由于作者的水平限制，難免會有錯誤，歡迎大家指正，感激不盡。

《深入理解計算機系統（第 3 版）》第 2.4.2 節