摘要:同樣結點樹的二叉樹,完全二叉樹的深度最小。二叉樹每個結點最多有兩個孩子,所以為它設計一個數據域和兩個指針域是比較自然的想法,我們稱這樣的鏈表叫做二叉鏈表。
二叉樹的概念
二叉樹(Binary Tree)是n(n>=0)個結點的有限集合,該集合或者為空集(空二叉樹),或者由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱為根結點的左子樹和右子樹的二叉樹組成。
二叉樹的特點每個結點最多有兩棵子樹,所以二叉樹中不存在度大于2的結點。二叉樹中每一個節點都是一個對象,每一個數據節點都有三個指針,分別是指向父母、左孩子和右孩子的指針。每一個節點都是通過指針相互連接的。相連指針的關系都是父子關系。
二叉樹節點的定義二叉樹節點定義如下:
struct BinaryTreeNode { int m_nValue; BinaryTreeNode* m_pLeft; BinaryTreeNode* m_pRight; };二叉樹的五種基本形態
空二叉樹 只有一個根結點 根結點只有左子樹 根結點只有右子樹 根結點既有左子樹又有右子樹
擁有三個結點的普通樹只有兩種情況:兩層或者三層。但由于二叉樹要區分左右,所以就會演變成如下的五種形態:
如上面倒數第一副圖的第2、3小圖所示。
滿二叉樹在一棵二叉樹中,如果所有分支結點都存在左子樹和右子樹,并且所有葉子都在同一層上,這樣的二叉樹稱為滿二叉樹。如下圖所示:
完全二叉樹完全二叉樹是指最后一層左邊是滿的,右邊可能滿也可能不滿,然后其余層都是滿的。一個深度為k,節點個數為 2^k - 1 的二叉樹為滿二叉樹(完全二叉樹)。就是一棵樹,深度為k,并且沒有空位。
完全二叉樹的特點有:
葉子結點只能出現在最下兩層。 最下層的葉子一定集中在左部連續位置。 倒數第二層,若有葉子結點,一定都在右部連續位置。 如果結點度為1,則該結點只有左孩子。 同樣結點樹的二叉樹,完全二叉樹的深度最小。
注意:滿二叉樹一定是完全二叉樹,但完全二叉樹不一定是滿二叉樹。
算法如下:
bool is_complete(tree *root) { queue q; tree *ptr; // 進行廣度優先遍歷(層次遍歷),并把NULL節點也放入隊列 q.push(root); while ((ptr = q.pop()) != NULL) { q.push(ptr->left); q.push(ptr->right); } // 判斷是否還有未被訪問到的節點 while (!q.is_empty()) { ptr = q.pop(); // 有未訪問到的的非NULL節點,則樹存在空洞,為非完全二叉樹 if (NULL != ptr) { return false; } } return true; }二叉樹的性質
二叉樹的性質一:在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)個結點(i>=1)
二叉樹的性質二:深度為k的二叉樹至多有2^k-1個結點(k>=1)
二叉樹的順序存儲結構二叉樹的順序存儲結構就是用一維數組存儲二叉樹中的各個結點,并且結點的存儲位置能體現結點之間的邏輯關系。
二叉鏈表既然順序存儲方式的適用性不強,那么我們就要考慮鏈式存儲結構啦。二叉樹的存儲按照國際慣例來說一般也是采用鏈式存儲結構的。
二叉樹每個結點最多有兩個孩子,所以為它設計一個數據域和兩個指針域是比較自然的想法,我們稱這樣的鏈表叫做二叉鏈表。
二叉樹的遍歷二叉樹的遍歷(traversing binary tree)是指從根結點出發,按照某種次序依次訪問二叉樹中所有結點,使得每個結點被訪問一次且僅被訪問一次。
二叉樹的遍歷有三種方式,如下:
(1)前序遍歷(DLR),首先訪問根結點,然后遍歷左子樹,最后遍歷右子樹。簡記根-左-右。 (2)中序遍歷(LDR),首先遍歷左子樹,然后訪問根結點,最后遍歷右子樹。簡記左-根-右。 (3)后序遍歷(LRD),首先遍歷左子樹,然后遍歷右子樹,最后訪問根結點。簡記左-右-根。前序遍歷:
若二叉樹為空,則空操作返回,否則先訪問根結點,然后前序遍歷左子樹,再前序遍歷右子樹。
遍歷的順序為:A B D H I E J C F K G
//先序遍歷 function preOrder(node){ if(!node == null){ putstr(node.show()+ " "); preOrder(node.left); preOrder(node.right); } }中序遍歷:
若樹為空,則空操作返回,否則從根結點開始(注意并不是先訪問根結點),中序遍歷根結點的左子樹,然后是訪問根結點,最后中序遍歷右子樹。
遍歷的順序為:H D I B E J A F K C G
//使用遞歸方式實現中序遍歷 function inOrder(node){ if(!(node == null)){ inOrder(node.left);//先訪問左子樹 putstr(node.show()+ " ");//再訪問根節點 inOrder(node.right);//最后訪問右子樹 } }后序遍歷:
若樹為空,則空操作返回,否則從左到右先葉子后結點的方式遍歷訪問左右子樹,最后訪問根結點。
遍歷的順序為:H I D J E B K F G C A
//后序遍歷 function postOrder(node){ if(!node == null){ postOrder(node.left); postOrder(node.right); putStr(node.show()+ " "); } }實現二叉查找樹
二叉查找樹(BST)由節點組成,所以我們定義一個Node節點對象如下:
function Node(data,left,right){ this.data = data; this.left = left;//保存left節點鏈接 this.right = right; this.show = show; } function show(){ return this.data;//顯示保存在節點中的數據 }查找最大和最小值
查找BST上的最小值和最大值非常簡單,因為較小的值總是在左子節點上,在BST上查找最小值,只需遍歷左子樹,直到找到最后一個節點
查找最小值function getMin(){ var current = this.root; while(!(current.left == null)){ current = current.left; } return current.data; }
該方法沿著BST的左子樹挨個遍歷,直到遍歷到BST最左的節點,該節點被定義為:
current.left = null;
這時,當前節點上保存的值就是最小值
查找最大值在BST上查找最大值只需要遍歷右子樹,直到找到最后一個節點,該節點上保存的值就是最大值。
function getMax(){ var current = this.root; while(!(current.right == null)){ current = current.right; } return current.data; }
二叉樹相關題目:http://blog.csdn.net/luckyxiaoqiang/article/details/7518888
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