摘要：本文專門針對笨蛋介紹如何編寫二叉樹，包括二叉樹的結構如何添加節點如何刪除節點。二叉樹的結構有三個要點每個節點最多有兩個子節點，分別稱作左子節點和右子節點。通過這種生長方式，我們無論何時都能得到滿足前面三個要素的二叉樹。

本文專門針對笨蛋介紹如何編寫二叉樹，包括二叉樹的結構、如何添加節點、如何刪除節點。

首先介紹二叉樹的結構。

二叉樹的結構有三個要點：

每個節點最多有兩個子節點，分別稱作左子節點和右子節點。

每個節點的左子節點的值比它小，右子節點的值比它大。

每個節點的左子樹每個節點的值都比它小，右子樹每個節點的值都比它大。

看上面這個例子，就完全符合這三點。

這時候笨蛋就會問了：前面兩點我理解，但是第三點是怎么做到的？

所以接下來介紹下二叉樹是如何 “生長” 起來的：

如上圖所示，當加入一個新節點時，從根節點開始對它進行比較。如果它比根節點小，則放入根節點的左子樹，如果比根節點大，則放入根節點的右子樹。

然后再進行下一級節點的比較，直到遇到最后一級節點，才將新節點加入為該節點的左或右子節點。

以第四幅圖的節點 25 為例，它第一次會與根節點 10 比較，結果就是 25 應該放入 10 的右子樹，這就排除了它放入左子樹的可能，即 25 不可能放到 4 的下面。

然后 25 再和節點 33 比較，結果是它比較小，所以應該放入 33 的左子樹。因為 33 沒有左子節點，那么 25 就直接作為 33 的左子節點了。

通過這種生長方式，我們無論何時都能得到滿足前面三個要素的二叉樹。

那么寫代碼該如何實現呢？所謂慢工出細活，我們一步一步來。

首先我們創建二叉樹節點的基本結構。每個二叉樹都有四個成員，如下所示。

public class BasicBTree {

    public int value;            // 節點的值

    public BasicBTree left;      // 節點的左子節點

    public BasicBTree right;     // 節點的右子節點

    public BasicBTree parent;    // 節點的父節點。如果為 null 則表示該節點是根節點
    
    // 構造方法
    public BasicBTree(int value) {
        this.value = value;
    }
}

回頭看第一張圖，你會發現每個節點最多有三根線連著，上面的線就代表 BasicBTree 的 parent，下面兩根線就分別代表 left 和 right 了。而節點中的數字就是 BasicBTree 的 value。

接下來我們要為 BasicBTree 編寫兩個簡單的方法，用來給它添加左子節點和右子節點：

// 將一個節點加為當前節點的左子節點
public void setLeft(BasicBTree node) {
    if (this.left != null) {
        this.left.parent = null;  // 解除當前的左子節點
    }
    this.left = node;
    if (this.left != null) {
        this.left.parent = this;  // 設置新子節點的父節點為自身
    }
}

// 將一個節點加為當前節點的右子節點
public void setRight(BasicBTree node) {
    if (this.right != null) {
        this.right.parent = null; // 解除當前的右子節點
    }
    this.right = node;
    if (this.right != null) {
        this.right.parent = this; // 設置新子節點的父節點為自身
    }
}

在上面兩個方法的基礎上，我們可以添加一個添加任意值節點的方法：

// 將一個節點加為當前節點的左或右子節點
public void setChild(BasicBTree node) {
    if (node == null) {
        return;
    }

    if (node.value < this.value) {
        setLeft(node);
    } else if (node.value > this.value) {
        setRight(node);
    }
}

另外我們再添加一個刪除左子節點或右子節點的方法：

// 刪除當前節點的一個直接子節點
public void deleteChild(BasicBTree node) {
    if (node == null) {
        return;
    }

    if (node == this.left) {
        node.parent = null;
        this.left = null;
    } else if (node == right) {
        node.parent = null;
        this.right = null;
    }
}

這幾個方法都是非常簡單的，其中 setChild() 和 deleteChild() 這兩個方法，我們后面介紹刪除節點的時候會用到。

現在我們正式實現構造樹的方法，就是把一個一個數字加到樹里面去，讓樹越長越大的方法：

// 向當前節點下面的樹中添加一個值作為新節點
public void add(int value) {
    if (value < this.value) {           // 表示應該放入左子樹
        if (this.left == null) {        // 如果左子樹為空則構建一個節點加進去
            setLeft(new BasicBTree(value));
        } else {
            this.left.add(value);       // 否則對左子樹同樣調用 add 方法（即遞歸）
        }
    } else if (value > this.value) {    // 表示應該放入右子樹
        if (this.right == null) {       // 如果右子樹為空則構建一個節點加進去
            setRight(new BasicBTree(value));
        } else {
            this.right.add(value);      // 否則對右子樹同樣調用 add 方法（即遞歸）
        }
    }
}

這個方法稍微復雜一些，主要是因為邏輯上使用了遞歸。這個方法怎么用呢？以最開始的樹為例，演示如何長成這棵樹：

public static void main(String[] args) {
    // 根節點
    BasicBTree tree = new BasicBTree(10);
    
    // 第一層子節點
    tree.add(4);
    tree.add(33);
    
    // 第二層子節點
    tree.add(25);
    tree.add(46);
    tree.add(8);
    tree.add(1);
}

你可能會注意到，加入每一層的子節點時，層內節點的添加順序可以任意調換，構造出來的樹都是一樣的；但是如果將不同層的節點順序互換，構造出來的二叉樹就會變樣了。這當中的原因可以自己想想。

最后來介紹二叉樹中最復雜的操作：刪除節點。為什么這個操作最復雜呢？因為刪除一個節點之后，要把它下面的節點接上來，同時要保持這棵樹繼續滿足三要素。

如何把下面的節點接上來呢？最笨的方法當然是把被刪節點的所有子節點一個個重新往樹里面加。但是這樣做效率實在不高。想想如果被刪節點有上百萬個子節點，那操作步驟就太多了（如下圖所示）。

怎么做才能效率高呢？有一個辦法，就是從被刪節點的子節點中找到一個合適的，替換掉被刪節點。這樣做的步驟就少得多了。

不過這樣的節點是否存在呢？答案是，除非被刪節點沒有子節點，否則是一定存在的。

而且這樣的節點可能不止一個。原則上講，被刪節點的左子樹的最大值，或右子樹的最小值，都是滿足條件的，都可以用來替換被刪節點。比如說，將左子樹的最大值節點替換上去之后，左子樹的剩余節點的值都仍然小于該位置的節點。下面是一個例子：

比如要刪除節點 33，而該節點左子樹的最大值為 31，那么直接將 31 替換到 33 的位置即可，整棵樹仍然滿足三要素。

同理，被刪節點右子樹的最小值也可以用來替換被刪節點。比如上圖中 33 節點的右子節點 46 也可以用來替換 33，整棵樹仍然滿足三要素。

所以這個問題就轉化為：如何尋找被刪節點的左子樹的最大值和右子樹的最小值。顯然，因為二叉樹所有的左節點都比較小，右節點都比較大，所以要找最大值，順著右節點找即可；要找最小值，順著左節點找即可。下面是實現的代碼：

// 搜索當前節點左子樹中的最大值節點，如果沒有左子節點則返回 null
public BasicBTree leftMax() {
    if (this.left == null) {
        return null;
    }

    BasicBTree result = this.left;  // 起始節點
    while (result.right != null) {  // 順著右節點找
        result = result.right;
    }
    return result;
}

// 搜索當前節點右子樹中的最小值節點，如果沒有右子節點則返回 null
public BasicBTree rightMin() {
    if (this.right == null) {
        return null;
    }

    BasicBTree result = this.right; // 起始節點
    while (result.left != null) {   // 順著左節點找
        result = result.left;
    }
    return result;
}

我們還剩下兩個準備工作，第一個是實現節點的查找：

// 查詢指定值的節點，如果找不到則返回 null
public BasicBTree find(int value) {
    BasicBTree result = this;     // 起始節點

    if (result.value == value) {
        return result;
    }

    while (result.left != null || result.right != null) {
        // 如果查找的值比當前節點小則順著左子樹查找；
        // 如果比當前節點大則順著右子樹查找。
        if (value < result.value && result.left != null) {
            result = result.left;
        } else if (value > result.value && result.right != null) {
            result = result.right;
        }

        if (result.value == value) {
            return result;
        }
    }

    return null;
}

第二個是實現節點的替換：

// 將節點 node 替換為節點 replace
public BasicBTree replace(BasicBTree node, BasicBTree replace) {

    // 1. replace 接管 node 的子節點
    replace.setLeft(node.left);
    replace.setRight(node.right);

    // 2. replace 從原來的 parent 脫離
    if (replace.parent != null) {
        replace.parent.deleteChild(replace);
    }

    // 3. node 原來的 parent 接管 replace
    if (node.parent != null) {
        node.parent.setChild(replace);
    }

    // 注意 2 必須在 3 之前，1 位置不論
    return replace;
}

注意這里用到了之前的 setChild() 和 deleteChild() 兩個方法。而 replace() 方法之所以設計為返回 replace 參數，是為了使用方便。

最后我們就可以正式實現二叉樹刪除節點的方法了：

// 從樹的子節點中刪除指定的值，并重組剩余節點
public BasicBTree delete(int value) {
    BasicBTree node = find(value);
    if (node == null) {
        return this;
    }

    // 沒有子節點，直接刪除即可
    if (node.left == null && node.right == null) {
        if (node.parent != null) {
            node.parent.deleteChild(node);
            return this;
        } else {
            // 表示整棵樹唯一的根節點刪了，只能返回 null
            return null;
        }
    }

    // 如果有子節點，則取左子樹的最大值或者右子樹的最小值都可以，
    // 來取代該節點。這里優先取左子樹的最大值
    BasicBTree replace;
    if (node.left != null) {
        replace = replace(node, node.leftMax());
    } else {
        replace = replace(node, node.rightMin());
    }

    // 如果被刪除的是根節點，則返回用于替換的節點，否則還是返回根節點
    return node == this ? replace : this;
}