摘要：最長公共子序列問題指的是求解兩個序列和的長度最長的公共子序列。當然，可以看出，問題容易出現重疊子問題，這時候，就需要用動態規劃法來解決。

??給定一個序列$X=$，另一個序列$Z=$滿足如下條件時稱為X的子序列：存在一個嚴格遞增的X的下標序列${i_1,i_2,...,i_k}$，對所有的$j=1,2,...,k$滿足$x_{i_j}=z_j.$
??給定兩個序列$X$和$Y$,如果$Z$同時是$X$和$Y$的子序列，則稱$Z$是$X$和$Y$的公共子序列。最長公共子序列（LCS）問題指的是：求解兩個序列$X$和$Y$的長度最長的公共子序列。例如，序列$X={A,B,C,B,D,A,B}$和$Y={B,D,C,A,B,A}$的最長公共子序列為${B,C,B,A}$，長度為4。
??本文將具體闡釋如何用動態規劃法（Dynamic Programming）來求解最長公共子序列（LCS）問題。

??給定一個序列$X=$，對$i=0,1,...,m$，定義$X$的第i前綴為$X_i=$,其中$X_0$為空序列。
??（LCS的子結構）令$X=$和$Y=$為兩個序列，$Z=$為$X$和$Y$的任意LCS，則：

如果$x_m=y_n,$則$z_k=x_m=y_n$且$Z_{k-1}$是$X_{m-1}$和$Y_{n-1}$的一個LCS。

如果$x_m eq y_n,$則$z_k eq x_m$意味著$Z_{k-1}$是$X_{m-1}$和$Y$的一個LCS。

如果$x_m eq y_n,$則$z_k eq y_n$且$Z_{k-1}$是$X$和$Y_{n-1}$的一個LCS。

??在求$X=$和$Y=$的一個LCS時，需要求解一個或兩個子問題：如果$x_m=y_n$，應求解$X_{m-1}$和$Y_{n-1}$的一個LCS，再將$x_m=y_n$追加到這個LCS的末尾，就得到$X$和$Y$的一個LCS；如果$x_m eq y_n$，需求解$X_{m-1}$和$Y$的一個LCS與$X$和$Y_{n-1}$的一個LCS，兩個LCS較長者即為$X$和$Y$的一個LCS。當然，可以看出，LCS問題容易出現重疊子問題，這時候，就需要用動態規劃法來解決。
??定義$c[i,j]$表示$X_i$和$Y_j$的LCS的長度。如果$i=0$或$j=0$，則$c[i,j]=0.$利用LCS的子結構，可以得到如下公式：

$$ c[i,j]=left{ egin{array}{lr} 0,qquad 若i=0或j=0 c[i-1, j-1]+1,qquad 若i,j>0且x_i=y_j max(c[i, j-1], c[i-1, j]),qquad 若i,j>0且x_i eq y_j end{array} ight. $$

??計算LCS長度的偽代碼為LCS-LENGTH. 過程LCS-LENGTH接受兩個子序列$X=$和$Y=$為輸入。它將$c[i, j]$的值保存在表$c$中，同時，維護一個表$b$，幫助構造最優解。過程LCS-LENGTH的偽代碼如下：

LCS-LENGTH(X, Y):
m = X.length
n = Y.length
let b[1...m, 1...n] and c[0...m, 0...n] be new table

for i = 1 to m
    c[i, 0] = 0
for j = 1 to n
    c[0, j] = 0

for i = 1 to m
    for j = 1 to n
        if x[i] == y[j]
           c[i,j] = c[i-1, j-1]+1
           b[i,j] = "diag"
           
        elseif c[i-1, j] >= c[i, j-1]
            c[i,j] = c[i-1, j]
            b[i,j] = "up"
            
        else
            c[i,j] = c[i, j-1]
            b[i,j] = "left"
            
return c and b

??為了尋找$X$和$Y$的一個LCS， 我們需要用到LCS-LENGTH過程中的表$b$，只需要簡單地從$b[m, n]$開始，并按箭頭方向追蹤下去即可。當在表項$b[i,j]$中遇到一個"diag"時，意味著$x_i=y_j$是LCS的一個元素。按照這種方法，我們可以按逆序依次構造出LCS的所有元素。偽代碼PRINT-LCS如下：

PRINT-LCS(b, X, i, j):
    if i == 0 or j == 0
        return
    if b[i,j] == "diag"
        PRINT-LCS(b, X, i-1, j-1)
        print x[i]
    elseif b[i,j] == "up":
        PRINT-LCS(b, X, i-1, j)
    else
        PRINT-LCS(b, X, i, j-1)

??有了以上對LCS問題的算法分析，我們不難寫出具體的程序來實現它。下面將會給出Python代碼和Java代碼，供讀者參考。
??完整的Python代碼如下：

import numpy as np

# using dynamic programming to solve LCS problem
# parameters: X,Y -> list
def LCS_LENGTH(X, Y):
    m = len(X) # length of X
    n = len(Y) # length of Y

    # create two tables, b for directions, c for solution of sub-problem
    b = np.array([[None]*(n+1)]*(m+1))
    c = np.array([[0]*(n+1)]*(m+1))

    # use DP to sole LCS problem
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                c[i,j] = c[i-1,j-1]+1
                b[i,j] = "diag"
            elif c[i-1,j] >= c[i, j-1]:
                c[i,j] = c[i-1,j]
                b[i,j] = "up"
            else:
                c[i,j] = c[i,j-1]
                b[i,j] = "left"
    #print(b)
    #print(c)
    return b,c

# print longest common subsequence of X and Y
def print_LCS(b, X, i, j):

    if i == 0 or j == 0:
        return None
    if b[i,j] == "diag":
        print_LCS(b, X, i-1, j-1)
        print(X[i-1], end=" ")
    elif b[i,j] == "up":
        print_LCS(b, X, i-1, j)
    else:
        print_LCS(b, X, i, j-1)

X = "conservatives"
Y = "breather"

b,c = LCS_LENGTH(X,Y)
print_LCS(b, X, len(X), len(Y))

輸出結果如下：

e a t e 

??完整的Java代碼如下：

package DP_example;

import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class LCS {
    // 主函數
    public static void main(String[] args) {
        // 兩個序列X和Y
        List X = Arrays.asList("A","B","C","B","D","A","B");
        List Y = Arrays.asList("B","D","C","A","B","A");

        int m = X.size(); //X的長度
        int n = Y.size(); // Y的長度
        String[][] b = LCS_length(X, Y); //獲取維護表b的值

        print_LCS(b, X, m, n); // 輸出LCS
    }

    /*
    函數LCS_length：獲取維護表b的值
    傳入參數： 兩個序列X和Y
    返回值： 維護表b
     */
    public static String[][] LCS_length(List X, List Y){
        int m = X.size(); //X的長度
        int n = Y.size(); // Y的長度
        int[][] c = new int[m+1][n+1];
        String[][] b = new String[m+1][n+1];

        // 對表b和表c進行初始化
        for(int i=1; i= c[i][j-1]){
                    c[i][j] = c[i-1][j];
                    b[i][j] = "up";
                }
                else{
                    c[i][j] = c[i][j-1];
                    b[i][j] = "left";
                }
            }
        }

        return b;
    }

    // 輸出最長公共子序列
    public static int print_LCS(String[][] b, List X, int i, int j){

        if(i == 0 || j == 0)
            return 0;

        if(b[i][j].equals("diag")){
            print_LCS(b, X, i-1, j-1);
            System.out.print(X.get(i-1)+" ");
        }
        else if(b[i][j].equals("up"))
            print_LCS(b, X, i-1, j);
        else
            print_LCS(b, X, i, j-1);

        return 1;
    }
}

輸出結果如下：

B C B A 

算法導論（第三版） 機械工業出版社

https://www.geeksforgeeks.org...

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