樹及其外部存儲(chǔ)

_Dreams 發(fā)布于2019-08-15 15:58 / 1852人閱讀

摘要：切記，紅黑樹在旋轉(zhuǎn)和顏色變換的過(guò)程中，必須遵守紅黑樹的幾條規(guī)則。樹的外部存儲(chǔ)磁盤布局計(jì)算機(jī)中的機(jī)械磁盤是由磁頭和圓盤組成，每個(gè)圓盤上劃分為多個(gè)磁道，每個(gè)磁道又劃分為多個(gè)扇區(qū)。

術(shù)語(yǔ)

根
????樹最頂端的節(jié)點(diǎn)稱為“根”，一棵樹只有一個(gè)根

父節(jié)點(diǎn)
????每個(gè)節(jié)點(diǎn)(除了根)都恰好有一條邊向上連接到另外一個(gè)節(jié)點(diǎn)，上面這個(gè)節(jié)點(diǎn)就稱為下面節(jié)點(diǎn)的“父節(jié)點(diǎn)”

子節(jié)點(diǎn)
????每個(gè)節(jié)點(diǎn)都可能有一條或者多條邊向下連接到其它節(jié)點(diǎn)，下面的這些節(jié)點(diǎn)就稱為它的“子節(jié)點(diǎn)”

葉節(jié)點(diǎn)
????沒(méi)有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)稱為“葉子節(jié)點(diǎn)”或者簡(jiǎn)稱為“葉節(jié)點(diǎn)”

子樹
????每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以作為“子樹”的根，它和它所有的子節(jié)點(diǎn)構(gòu)成了這棵樹的子樹

路徑
????設(shè)想順著連接節(jié)點(diǎn)的邊從一個(gè)節(jié)點(diǎn)走到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)，所經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)的順序排列就稱為“路徑”

二叉樹

????如果一棵樹中每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多只能有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)，這樣的樹就稱為“二叉樹”，二叉樹每個(gè)節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)稱為“左子節(jié)點(diǎn)”和“右子節(jié)點(diǎn)”。

????如果我們給二叉樹加一個(gè)額外的條件，就可以得到一種被稱作二叉搜索樹(binary search tree)的特殊二叉樹。二叉搜索樹要求：每個(gè)節(jié)點(diǎn)都不比它左子樹的任意元素小，而且不比它的右子樹的任意元素大。(如果我們假設(shè)樹中沒(méi)有重復(fù)的元素，那么上述要求可以寫成：每個(gè)節(jié)點(diǎn)比它左子樹的任意節(jié)點(diǎn)大，而且比它右子樹的任意節(jié)點(diǎn)小)

平衡二叉樹

????平衡二叉樹（Balanced Binary Tree）具有以下性質(zhì)：它是一棵空樹或它的左右兩個(gè)子樹的高度差的絕對(duì)值不超過(guò)1，并且左右兩個(gè)子樹都是一棵平衡二叉樹。

二叉搜索樹的查找過(guò)程

????二叉搜索樹可以方便的實(shí)現(xiàn)搜索算法。在搜索元素x的時(shí)候，我們可以將x和根節(jié)點(diǎn)比較:

如果x等于根節(jié)點(diǎn)，那么找到x，停止搜索 (終止條件)

如果x小于根節(jié)點(diǎn)，那么搜索左子樹

如果x大于根節(jié)點(diǎn)，那么搜索右子樹

????當(dāng)二叉搜索樹平衡時(shí)達(dá)到最高搜索效率，時(shí)間復(fù)雜度為O(logN)；當(dāng)二叉搜索樹單調(diào)插入數(shù)據(jù)時(shí)，搜索效率最低，此時(shí)二叉搜索樹相當(dāng)于鏈表，時(shí)間復(fù)雜度為O(N)

????二叉搜索樹的查找代碼如下(僅考慮數(shù)據(jù)不重復(fù)的情況)：

public Node find(int key) {
    Node current = root;
    while (current.data != key) {
        if (key < current.data) {
            current = current.left;
        } else {
            current = current.right;
        }
        if (current == null) {
            return null;
        }
    }
    return current;
}

二叉搜索樹插入過(guò)程

????二叉搜索樹的插入相對(duì)簡(jiǎn)單，二叉查找樹的插入過(guò)程如下：

若當(dāng)前的二叉搜索樹為空，則插入的元素為根節(jié)點(diǎn)

若插入的元素值小于根節(jié)點(diǎn)值，則將元素插入到左子樹中

若插入的元素值不小于根節(jié)點(diǎn)值，則將元素插入到右子樹中

????二叉搜索樹的插入代碼如下(僅考慮數(shù)據(jù)不重復(fù)的情況)：

public void insert(int key, double data) {
    Node newNode = new Node();
    newNode.key = key;
    newNode.data = data;
    if (root == null) {
        root = newNode;
    } else {
        Node current = root;
        Node parent;
        while (true) {
            parent = current;
            if (key < current.key) {
                current = current.left;
                if (current == null) {
                    parent.left = newNode;
                    return;
                }
            } else {
                current = current.right;
                if (current == null) {
                    parent.right = newNode;
                    return;
                }
            }
        }
    }
}

二叉搜索樹刪除過(guò)程

????二叉搜索樹刪除過(guò)程也分為三種情況：

待刪除節(jié)點(diǎn)是葉節(jié)點(diǎn)，此時(shí)只要?jiǎng)h除該節(jié)點(diǎn)，并修改其父節(jié)點(diǎn)的指針指向null即可

待刪除節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)子節(jié)點(diǎn)，此時(shí)只要將父節(jié)點(diǎn)的指針指向該節(jié)點(diǎn)的子樹即可

待刪除節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)，此時(shí)需要找到該節(jié)點(diǎn)的后繼節(jié)點(diǎn)，用后繼節(jié)點(diǎn)來(lái)代替它

如何查找后繼節(jié)點(diǎn)

????一個(gè)節(jié)點(diǎn)的后繼節(jié)點(diǎn)即所有比該節(jié)點(diǎn)大的節(jié)點(diǎn)集合中最小的那個(gè)節(jié)點(diǎn)。為此可以查找該節(jié)點(diǎn)的右子樹的最左節(jié)點(diǎn)即可，如圖：

????查找后繼節(jié)點(diǎn)代碼如下：

private Node getSuccessor(Node delNode) {
    Node successorParent = delNode;
    Node successor = delNode;
    Node current = delNode.right;
    while (current != null) {
        successorParent = successor;
        successor = current;
        current = current.left;
    }
    // 節(jié)點(diǎn)移位，參照/docs/二叉搜索樹后繼節(jié)點(diǎn)
    if (successor != delNode.right) {
        successorParent.left = successor.right;
        successor.right = delNode.right;
    }
    return successor;
}

????待刪除節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)的刪除過(guò)程如圖：

????刪除節(jié)點(diǎn)的代碼如下：

public void delete(int key) {
    Node current = root;
    Node parent = root;
    boolean isLeftChild = true;
    while (current.data != key) {
        parent = current;
        if (key < current.data) {
            isLeftChild = true;
            current = current.left;
        } else {
            isLeftChild = false;
            current = current.right;
        }
        if (current == null) {
            // 未找到待刪除的節(jié)點(diǎn)
            return;
        }
    }

    // 沒(méi)有子節(jié)點(diǎn)
    if (current.left == null && current.right == null) {
        if (current == root) {
            root = null;
        } else if (isLeftChild) {
            parent.left = null;
        } else {
            parent.right = null;
        }
    } else if (current.right == null) {
        // 只有左節(jié)點(diǎn)
        if (current == root) {
            root = current.left;
        } else if (isLeftChild) {
            parent.left = current.left;
        } else {
            parent.right = current.left;
        }
    } else if (current.left == null) {
        if (current == root) {
            root = current.right;
        } else if (isLeftChild) {
            parent.left = current.right;
        } else {
            parent.right = current.right;
        }
    } else {
        // 兩個(gè)節(jié)點(diǎn)
        Node successor = getSuccessor(current);
        if (current == root) {
            root = successor;
        } else if (isLeftChild) {
            parent.left = successor;
        } else {
            parent.right = successor;
        }
        successor.left = current.left;
    }
}

紅黑樹

????紅黑樹（英語(yǔ)：Red–black tree）是平衡二叉搜索樹的一種實(shí)現(xiàn)方式，是在計(jì)算機(jī)科學(xué)中用到的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，典型的用途是實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)數(shù)組。

????紅黑樹必須滿足以下的規(guī)則：

每一個(gè)節(jié)點(diǎn)不是紅色就是黑色

根總是黑色的

如果節(jié)點(diǎn)是紅色的，則它的子節(jié)點(diǎn)必須是黑色的(反之倒不一定必須為真)

該樹是完美黑色平衡的，即任意空鏈接到根結(jié)點(diǎn)的路徑上的黑鏈接數(shù)量相同

如果一個(gè)黑色節(jié)點(diǎn)下面有一個(gè)紅色節(jié)點(diǎn)和一個(gè)黑色節(jié)點(diǎn)，那么紅色節(jié)點(diǎn)只能是左節(jié)點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)

????旋轉(zhuǎn)又分為左旋和右旋。通常左旋操作用于將一個(gè)向右傾斜的紅色鏈接旋轉(zhuǎn)為向左鏈接。

????左旋如圖所示：

代碼如下：

private Node rotateLeft(Node node) {
    Node x = node.right;
    node.right = x.left;
    x.left = node;
    x.color = x.left.color;
    x.left.color = RED;
    return x;
}

????右旋如圖所示：

代碼如下：

private Node rotateRight(Node node) {
    Node x = node.left;
    node.left = x.right;
    x.right = node;
    x.color = x.right.color;
    x.right.color = RED;
    return x;
}

顏色變換

????在插入數(shù)據(jù)過(guò)程中，遇到一個(gè)黑色節(jié)點(diǎn)下面帶有兩個(gè)紅色的子節(jié)點(diǎn)就要進(jìn)行顏色變換。顏色變換規(guī)則如下：兩個(gè)紅色子節(jié)點(diǎn)變?yōu)楹谏谏腹?jié)點(diǎn)通常變?yōu)榧t色，如果父節(jié)點(diǎn)是根節(jié)點(diǎn)的話，則父節(jié)點(diǎn)繼續(xù)保持為黑色。

代碼如下：

private void flipColors(Node node) {
    node.color = !node.color;
    node.left.color = !node.left.color;
    node.right.color = !node.right.color;
}

紅黑樹的插入過(guò)程

????紅黑樹在插入時(shí)，跟二叉搜索樹的插入規(guī)則是一致的，唯一不同的是，紅黑樹要保持自身的平衡，而這可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)和顏色變換做到。切記，紅黑樹在旋轉(zhuǎn)和顏色變換的過(guò)程中，必須遵守紅黑樹的幾條規(guī)則。

代碼如下：

public void insert(int key) {
    root = insert(root, key);
    // 根節(jié)點(diǎn)只能是黑色
    root.color = BLACK;
}

private Node insert(Node node, int key) {
    if (node == null) {
        return new Node(key, RED);
    }

    if (key < node.key) {
        node.left = insert(node.left, key);
    } else if (key > node.key) {
        node.right = insert(node.right, key);
    } else {
        node.key = key;
    }

    // 如果一個(gè)黑色節(jié)點(diǎn)下面的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)一個(gè)黑色，一個(gè)紅色，則紅色節(jié)點(diǎn)只能是左節(jié)點(diǎn)
    if (isRed(node.right) && !isRed(node.left)) {
        node = rotateLeft(node);
    }

    // 紅色節(jié)點(diǎn)下面不能有紅色節(jié)點(diǎn)
    if (isRed(node.left) && isRed(node.left.left)) {
        node = rotateRight(node);
    }

    // 當(dāng)一個(gè)黑色節(jié)點(diǎn)下有兩個(gè)紅色節(jié)點(diǎn)，則要進(jìn)行顏色變換
    if (isRed(node.left) && isRed(node.right)) {
        flipColors(node);
    }
    return node;
}

紅黑樹的查找和刪除過(guò)程

????紅黑樹的查找跟二叉搜索樹的查找過(guò)程是完全一致的
????紅黑樹的刪除過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，以致于很多程序員用不同的方法去規(guī)避它，其中一種方法是：為已刪除的節(jié)點(diǎn)做標(biāo)記而不實(shí)際刪除它。這里不做進(jìn)一步的討論。

????紅黑樹的詳細(xì)實(shí)現(xiàn)可以參考：紅黑樹完整代碼Java實(shí)現(xiàn)

2-3-4樹

????2-3-4樹是一種多叉樹，名字中的2、3和4的含義是指一個(gè)節(jié)點(diǎn)可能含有的子節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。2-3-4樹性質(zhì)如下：

任一節(jié)點(diǎn)只能是 2 度節(jié)點(diǎn)、3 度節(jié)點(diǎn)或 4 度節(jié)點(diǎn)，不存在元素?cái)?shù)為 0 的節(jié)點(diǎn)(2度節(jié)點(diǎn)和3度節(jié)點(diǎn)是指該節(jié)點(diǎn)有2個(gè)或者3個(gè)子節(jié)點(diǎn))

所有葉子節(jié)點(diǎn)都擁有相同的深度（depth）

元素始終保持排序順序

????2-3-4樹結(jié)構(gòu)圖如下：

2-3-4樹的組織

????為了方便起見(jiàn)，用從0到2的數(shù)字給數(shù)據(jù)項(xiàng)編號(hào)，用0到3給子節(jié)點(diǎn)鏈編號(hào)。節(jié)點(diǎn)中的數(shù)據(jù)項(xiàng)按照關(guān)鍵字升序排列，習(xí)慣上從左到右升序。還加上以下幾點(diǎn)：

根是child0的子樹的所有子節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字值小于key0

根是child1的子樹的所有子節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字值大于key0并且小于key1

根是child2的子樹的所有子節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字值大于key1并且小于key2

根是child3的子樹的所有子節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字值大于key2

????如圖：

節(jié)點(diǎn)分裂

????2-3-4樹依靠節(jié)點(diǎn)分裂來(lái)保持自身的平衡性。2-3-4樹分裂的規(guī)則是自頂向下的，如果根節(jié)點(diǎn)或者待插入的節(jié)點(diǎn)中數(shù)據(jù)項(xiàng)已滿，就要進(jìn)行分裂，分裂規(guī)則如下：

創(chuàng)建一個(gè)空節(jié)點(diǎn)，它是要分裂節(jié)點(diǎn)的兄弟，在要分裂節(jié)點(diǎn)的右邊

待分裂節(jié)點(diǎn)右邊的數(shù)據(jù)項(xiàng)移到右邊節(jié)點(diǎn)中，左邊的數(shù)據(jù)項(xiàng)保留在原有節(jié)點(diǎn)中，中間的數(shù)據(jù)項(xiàng)上升到父節(jié)點(diǎn)中

????如圖：

2-3樹

????2-3樹也是一種多叉樹，與2-3-4樹類似，現(xiàn)在在很多應(yīng)用程序中還在應(yīng)用，一些用于2-3樹的技術(shù)會(huì)在B-樹中應(yīng)用。

????2-3樹比2-3-4樹少一個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)和一個(gè)子節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)可以保存1個(gè)或者2個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)，可以有0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或者3個(gè)子節(jié)點(diǎn)。其它方面，父節(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字值的排列順序和2-3-4樹是一樣的。

節(jié)點(diǎn)分裂

????2-3樹節(jié)點(diǎn)分裂和2-4樹節(jié)點(diǎn)分裂有很大的不同。2-3樹節(jié)點(diǎn)分裂是自底向上的(即若插入數(shù)據(jù)時(shí)根節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)項(xiàng)已滿，不進(jìn)行分裂，只有待插入的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)項(xiàng)滿時(shí)才進(jìn)行分裂)，而且2-3樹節(jié)點(diǎn)分裂必須用到新數(shù)據(jù)項(xiàng)。

樹的外部存儲(chǔ) 磁盤布局

????計(jì)算機(jī)中的機(jī)械磁盤是由磁頭和圓盤組成，每個(gè)圓盤上劃分為多個(gè)磁道，每個(gè)磁道又劃分為多個(gè)扇區(qū)。

????磁盤的結(jié)構(gòu)圖如下：

磁盤讀寫原理

????系統(tǒng)將文件存儲(chǔ)到磁盤上時(shí)，按柱面、磁頭、扇區(qū)的方式進(jìn)行，即最先是第1磁道的第一磁頭（也就是第1盤面的第1磁道）下的所有扇區(qū)，然后，是同一柱面的下一磁頭，……，一個(gè)柱面存儲(chǔ)滿后就推進(jìn)到下一個(gè)柱面，直到把文件內(nèi)容全部寫入磁盤。

????系統(tǒng)也以相同的順序讀出數(shù)據(jù)。讀出數(shù)據(jù)時(shí)通過(guò)告訴磁盤控制器要讀出扇區(qū)所在的柱面號(hào)、磁頭號(hào)和扇區(qū)號(hào)（物理地址的三個(gè)組成部分）進(jìn)行（目前多是通過(guò)LBA線性尋址的方式定位）。

磁盤預(yù)讀

????由于存儲(chǔ)介質(zhì)的特性，磁盤本身存取就比主存慢很多，再加上機(jī)械運(yùn)動(dòng)耗費(fèi)（磁盤旋轉(zhuǎn)和磁頭移動(dòng)），磁盤的存取速度往往是主存的幾百分之一，因此為了提高效率，要盡量減少磁盤I/O。為了達(dá)到這個(gè)目的，磁盤往往不是嚴(yán)格按需讀取，而是每次都會(huì)預(yù)讀，即使只需要一個(gè)字節(jié)，磁盤也會(huì)從這個(gè)位置開(kāi)始，順序向后讀取一定長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)放入內(nèi)存。

????預(yù)讀的長(zhǎng)度一般為頁(yè)（page）的整倍數(shù)。頁(yè)是計(jì)算機(jī)管理存儲(chǔ)器的邏輯塊，硬件及操作系統(tǒng)往往將主存和磁盤存儲(chǔ)區(qū)分割為連續(xù)的大小相等的塊，每個(gè)存儲(chǔ)塊稱為一頁(yè)（在許多操作系統(tǒng)中，頁(yè)得大小通常為4k），主存和磁盤以頁(yè)為單位交換數(shù)據(jù)。當(dāng)程序要讀取的數(shù)據(jù)不在主存中時(shí)，會(huì)觸發(fā)一個(gè)缺頁(yè)異常，此時(shí)系統(tǒng)會(huì)向磁盤發(fā)出讀盤信號(hào)，磁盤會(huì)找到數(shù)據(jù)的起始位置并向后連續(xù)讀取一頁(yè)或幾頁(yè)載入內(nèi)存中，然后異常返回，程序繼續(xù)運(yùn)行（詳情請(qǐng)參考頁(yè)面置換算法以及虛擬內(nèi)存）。

擴(kuò)展

每個(gè)扇區(qū)的弧長(zhǎng)是一樣的嗎？

????目前大多數(shù)教程中給出的圖片都是老式的機(jī)械磁盤的組成。在老式機(jī)械磁盤中，每個(gè)磁道的扇區(qū)弧長(zhǎng)是不一樣的。越靠?jī)?nèi)的磁道密度越大，存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)也就越多；越靠外的磁道密度越小，存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)也就越少。所以，雖然內(nèi)外磁道的扇區(qū)弧長(zhǎng)不一樣，由于密度的原因，每個(gè)扇區(qū)存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)量仍然是一樣的，都是512B。在新式磁盤中，內(nèi)外磁道的扇區(qū)密度都是相同的，所以新式磁盤每個(gè)扇區(qū)的弧長(zhǎng)都是一樣的。

B-樹和B+樹

????2-3樹和2-3-4樹是B樹的一種特例，B樹的操作與2-3樹和2-3-4樹大致相同，此處不在過(guò)多介紹。

B樹為何適于外部存儲(chǔ)

????前面已經(jīng)簡(jiǎn)單介紹過(guò)，磁盤控制器每次預(yù)讀幾個(gè)文件塊的內(nèi)容，所以對(duì)于磁盤讀寫來(lái)說(shuō)，當(dāng)需要的數(shù)據(jù)都在一個(gè)文件塊中時(shí)，磁盤讀寫次數(shù)最少，此時(shí)效率是最高的。而B樹設(shè)計(jì)將每個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)項(xiàng)剛好填滿一個(gè)文件塊.

????假設(shè)這樣一種極端情況，如果每個(gè)文件塊中只有一條記錄是我們需要的。那么當(dāng)我們獲取第二條記錄時(shí)又要重新從磁盤加載新的文件塊。此時(shí)由于磁盤讀取次數(shù)增多，導(dǎo)致程序的性能大大下降。

B+樹

????B+樹是B-樹的變形。B+樹與B樹的區(qū)別在于：

B+樹非葉子節(jié)點(diǎn)只保存索引，數(shù)據(jù)全部保存在葉子節(jié)點(diǎn)上

B+樹的所有的葉子節(jié)點(diǎn)組成了一張鏈表，便于數(shù)據(jù)遍歷

對(duì)于有M個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)的B+樹，最多只會(huì)有M的子節(jié)點(diǎn)

如圖：

MySQL存儲(chǔ)引擎對(duì)B+樹的優(yōu)化

????基于上文對(duì)2-3-4樹和2-3樹的討論，傳統(tǒng)的B+樹也是按照50%的分裂方式，這樣節(jié)點(diǎn)分裂后，新的節(jié)點(diǎn)中只有原來(lái)一半的數(shù)據(jù)量，不但浪費(fèi)了空間，還造成節(jié)點(diǎn)的增多，從而加重磁盤IO的次數(shù)。在目前絕大部分關(guān)系型數(shù)據(jù)庫(kù)中，都針對(duì)B+樹索引的遞增/遞減插入進(jìn)行了優(yōu)化，新的分裂策略在插入新數(shù)據(jù)時(shí)，不移動(dòng)原有頁(yè)面的任何記錄，只是將新插入的記錄寫到新頁(yè)面之中，這樣原有頁(yè)面的利用率仍然是100%。

????所以對(duì)于MySQL數(shù)據(jù)庫(kù)來(lái)說(shuō)，使用自增主鍵插入數(shù)據(jù)時(shí)就會(huì)形成一個(gè)緊湊的索引結(jié)構(gòu)，近似順序填滿。由于每次插入時(shí)也不需要移動(dòng)已有數(shù)據(jù)，因此效率很高，也不會(huì)增加很多開(kāi)銷在維護(hù)索引上。

如圖：

參考資料

從MySQL Bug#67718淺談B+樹索引的分裂優(yōu)化

紅黑樹完整代碼Java實(shí)現(xiàn)

硬盤的讀寫原理

Java數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法 [美]Robert Lafore著

算法導(dǎo)論 [美]Thomas H.Cormen，[美]Charles E.Leiserson，[美]Ronald L.Rivest，[美]Clifford Stein 著

云服務(wù)器 GPU云服務(wù)器最小生成樹算法及其應(yīng)用云存儲(chǔ)技術(shù)及其應(yīng)用海量信息存儲(chǔ)安全技術(shù)及其應(yīng)用訪問(wèn)外部存儲(chǔ)

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