摘要：谷歌發(fā)布的一篇論文給出了較早的關(guān)于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練相關(guān)的理論證明，實驗觀察結(jié)果也為初步解釋梯度下降強(qiáng)于貝葉斯優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。

谷歌 AI 發(fā)布的一篇論文給出了較早的關(guān)于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練相關(guān)的理論證明，實驗觀察結(jié)果也為初步解釋梯度下降強(qiáng)于貝葉斯優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論面紗，正逐步被揭開。

原來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實際上跟線性模型并沒那么大不同！

谷歌 AI 的研究人員日前在 arxiv 貼出一篇文章，給出了較早的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練相關(guān)的理論證明。

實驗中，他們將一個實際的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程與線性模型的訓(xùn)練過程相比，發(fā)現(xiàn)兩者高度一致。這里用到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個 wide ResNet，包括 ReLU 層、卷積層、pooling 層和 batch normalization；線性模型是用 ResNet 關(guān)于其初始 (隨機(jī)) 參數(shù)的泰勒級數(shù)建立的網(wǎng)絡(luò)。

將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程與線性模型的相比，兩者高度一致

在多個不同模型上試驗并排除量化誤差后，觀察結(jié)果依舊保持一致。由此，谷歌 AI 研究人員得出結(jié)論，當(dāng)學(xué)習(xí)率比較小且網(wǎng)絡(luò)足夠?qū)?(不必?zé)o限寬) 的時候，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是線性模型。

由此得出的一個推論是，使用梯度下降訓(xùn)練的大型網(wǎng)絡(luò)集成能夠用一個高斯過程描述，而且在梯度下降的任意時間都能用完備形式化描述這個高斯過程。

這些觀察結(jié)果也構(gòu)成了一個理論框架基礎(chǔ)，可以用來初步解釋長期以來困擾深度學(xué)習(xí)研究界的一個難題：梯度下降究竟在哪些情況下，具體是如何優(yōu)于貝葉斯優(yōu)化？

在訓(xùn)練深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被戲謔為 “調(diào)參煉丹” 的當(dāng)下，這一發(fā)現(xiàn)猶如一道希望的強(qiáng)光，射進(jìn)還被排除在 “科學(xué)” 之外的深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域，激動人心。

相關(guān)論文：使用梯度下降訓(xùn)練的任意深度的 Wide 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與線性模型的一致性

終于，調(diào)參不再是煉丹：較早的關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的理論證明

基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)器學(xué)習(xí)模型在許多任務(wù)中取得了前所未有的性能。通常，這些模型被認(rèn)為是復(fù)雜系統(tǒng)，其中許多類型的理論分析是很棘手的。此外，由于控制優(yōu)化的通常是高維的非凸損失平面 (non-convex loss surfaces)，因此要描述這些模型的基于梯度的訓(xùn)練動態(tài)機(jī)制具有挑戰(zhàn)性。

就像在物理科學(xué)中常見的那樣，研究這些系統(tǒng)的極限通常可以解釋這些難題。對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來說，其中一個極限就是它的 “無限寬度”(infinite width)，指的是完全連接層中的隱藏單元數(shù)量，或卷積層中的通道數(shù)量。

在此限制下，網(wǎng)絡(luò)初始化時的輸出取自高斯過程 (GP)；此外，在使用平方損失進(jìn)行較精確貝葉斯訓(xùn)練后，網(wǎng)絡(luò)輸出仍然由 GP 控制。除了理論上的簡單性，nfinite-width 這一限制也具有實際意義，因為許多研究已經(jīng)證明，更寬的網(wǎng)絡(luò)可以更好地進(jìn)行泛化。

在這項工作中，我們探索了梯度下降下寬的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)動態(tài)機(jī)制 (learning dynamics)，并發(fā)現(xiàn)動態(tài)的權(quán)重空間描述變得非常簡單：隨著寬度變大，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以有效地被關(guān)于其初始化參數(shù)的一階泰勒展開式 (first-order Taylor expansion) 取代。

對于這種誘導(dǎo)的線性模型，梯度下降的動態(tài)機(jī)制變得易于分析了。雖然線性化只在無限寬度限制下是較精確的，但我們發(fā)現(xiàn)，即使是有限寬度的情況下，原始網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測與線性化版本的預(yù)測仍然非常一致。這種一致性在不同的架構(gòu)、優(yōu)化方法和損失函數(shù)之間都存在。

對于平方損失 (squared loss)，較精確的學(xué)習(xí)動態(tài)機(jī)制允許封閉形式的解決方案，這允許我們用 GP 來描述預(yù)測分布的演化。這一結(jié)果可以看作是 “先采樣再優(yōu)化”(sample-then-optimize) 后驗采樣對深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的延伸。我們的經(jīng)驗?zāi)M證實，該結(jié)果準(zhǔn)確地模擬了具有不同隨機(jī)初始化的有限寬度模型集合中預(yù)測的變化。

谷歌 AI 的研究人員表示，這篇論文的幾大主要貢獻(xiàn)包括：

首先，我們以 Jacot et al. (2018) 最近的研究成果為基礎(chǔ)，該成果描述了在 infinite width 限制下，整個梯度下降訓(xùn)練過程中網(wǎng)絡(luò)輸出的較精確動態(tài)。他們的結(jié)果證明了參數(shù)空間的梯度下降對應(yīng)于函數(shù)空間中關(guān)于新核的核梯度下降 (kernel gradient descent)，即 Neural Tangent Kernel (NTK)。

我們工作的一個關(guān)鍵貢獻(xiàn)是證明了參數(shù)空間中的動態(tài)等價于所有網(wǎng)絡(luò)參數(shù)、權(quán)重和偏差集合中的仿射模型的訓(xùn)練動態(tài)。無論損失函數(shù)的選擇如何，這個結(jié)果都成立。在平方損失的情況下， dynamics 允許一個封閉形式的解作為時間函數(shù)。

無限寬 (infinitely wide) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始化時的輸出是高斯的，并且如 Jacot et al.(2018) 中所述，平方損失在整個訓(xùn)練過程中始終是高斯的。我們推導(dǎo)了該 GP 的均值和協(xié)方差函數(shù)的顯式時間依賴表達(dá)式，并為結(jié)果提供了新的解釋。

具體來說，該解釋對梯度下降與參數(shù)的貝葉斯后驗采樣的不同機(jī)制提供了一種定量理解：雖然這兩種方法都取自 GP，但梯度下降不會從任何概率模型的后驗生成樣本。

這一觀察結(jié)果與 (Matthews et al.，2017) 的 “先采樣后優(yōu)化”(sample-then-optimize) 框架形成了對比，在該框架中，只訓(xùn)練頂層權(quán)重，梯度下降從貝葉斯后驗采樣。

這些觀察構(gòu)成了一個框架，用來分析長期存在的問題，如梯度下降是否、如何以及在何種情況下提供了相對于貝葉斯推理的具體好處。

正如 Chizat & Bach (2018b) 中論述的，這些理論結(jié)果可能過于簡單，無法適用于現(xiàn)實的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。但是，我們通過實證研究證明了該理論在 finite-width 設(shè)置中的適用性，發(fā)現(xiàn)它準(zhǔn)確地描述了各種條件下的學(xué)習(xí)動態(tài)機(jī)制和后驗函數(shù)分布，包括一些實際的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，如 Wide Residual Network (Zagoruyko & Komodakis, 2016)。

理論結(jié)果：無限寬的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是線性模型

線性化網(wǎng)絡(luò) (linearized network)

此處，我們將考慮線性化網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練動態(tài)，具體地說，就是用一階泰勒展開代替神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出：

值得注意的是，flint 是兩項之和：第一項是網(wǎng)絡(luò)的初始輸出，在訓(xùn)練過程中保持不變；第二項是在訓(xùn)練過程中捕捉對初始值的變化。

使用這個線性化函數(shù)的梯度流的動態(tài)受到如下約束：

無限寬度限制產(chǎn)生高斯過程

當(dāng)隱藏層的寬度接近無窮大時，中心極限定理 (CLT) 意味著初始化 {f0(x)}x∈X 時的輸出在分布上收斂于多元高斯分布。這一點(diǎn)可以用歸納法非正式的進(jìn)行證明。

因此，隨機(jī)初始化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)于一類高斯過程 (以下簡稱 NNGP)，將有利于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的完全貝葉斯處理。

梯度下降訓(xùn)練中的高斯過程

如果我們在初始化之后凍結(jié)變量 θ≤L，并且只優(yōu)化 θ≤L+1，那么原始網(wǎng)絡(luò)及其線性化是相同的。讓寬度趨于無窮，這個特殊的 tangent kernel 的概率將收斂于 K。這是用于評估高斯過程后驗的 “先采樣后優(yōu)化” 方法的實現(xiàn)。

我們對比了 NNGP、NTK-GP 和 NN 集合的預(yù)測分布，如下圖所示：

訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的均值和方差的動態(tài)遵循線性化的分析動態(tài)機(jī)制

黑線表示來自 100 個訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集合的預(yù)測輸出分布的時間演變； 藍(lán)色區(qū)域表示整個訓(xùn)練中輸出分布的分析預(yù)測；最后，紅色區(qū)域表示僅訓(xùn)練頂層的預(yù)測，對應(yīng)于 NNGP。

受過訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)有 3 個隱藏層，寬度為 8192。陰影區(qū)域和虛線表示平均值的 2 個標(biāo)準(zhǔn)偏差。

無限寬度網(wǎng)絡(luò)是線性化網(wǎng)絡(luò)

原始網(wǎng)絡(luò)的常微分方程 (ODE) 在一般情況下是不可解的。在積分函數(shù)梯度范數(shù)保持隨機(jī)有界為n1,n2,…,nL→∞的技術(shù)假設(shè)下：

值得注意的是，上面公式中的上界只是理論性的，是根據(jù)經(jīng)驗觀察得到的：

訓(xùn)練過程中 Relative Frobenius 范數(shù)的改變

在 MSE 設(shè)置中，我們可以對原始網(wǎng)絡(luò)的輸出與其線性化輸出之間的差異進(jìn)行上限：

對于非常寬的網(wǎng)絡(luò)，我們可以用線性化動態(tài)機(jī)制來近似訓(xùn)練動態(tài)機(jī)制。

而從網(wǎng)絡(luò)線性化中獲得的另一個見解是，動態(tài)機(jī)制等效于隨機(jī)特征法，其中，特征是模型相對于其權(quán)重的梯度。

實驗

我們的實驗證明，寬的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練動態(tài)能很好地被線性模型捕獲。

我們考慮了全連接、卷積和 wide ResNet 架構(gòu)，這些架構(gòu)使用足夠小的學(xué)習(xí)率進(jìn)行 full-batch 或 mini-batch 梯度下降訓(xùn)練，從而使連續(xù)時間近似保持良好。

我們考慮了 CIFAR10 上的 two-class 分類任務(wù) (馬匹和飛機(jī))，以及 MNIST 和 CIFAR-10 上的 ten-class 分類。

在 MSE loss 的情況下，輸出分布在整個訓(xùn)練過程中保持高斯分布。圖 3 顯示，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其對應(yīng)的 GP 的集合顯示了在兩個訓(xùn)練點(diǎn)之間插值的輸入點(diǎn)的預(yù)測輸出分布。

圖 4：對于網(wǎng)絡(luò)輸出和單個權(quán)重，模型的 full batch 梯度下降在線性化方面的表現(xiàn)與 analytic dynamics 類似

在圖 4 中，我們看到線性模型很好地描述了具有交叉熵?fù)p失的 CIFAR-10 所有類分類任務(wù)的 learning dynamics。

圖 5：卷積網(wǎng)絡(luò)及其線性化在使用動量優(yōu)化器進(jìn)行 full batch 梯度下降訓(xùn)練時表現(xiàn)類似

圖 6：在通過 SGD 進(jìn)行訓(xùn)練時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其線性化表現(xiàn)相似，在 MNIST 上的交叉熵?fù)p失上具有動量

圖 7：兩者都利用 SGD 在 CIFAR-10 上訓(xùn)練時， wide ResNet 及其線性化的表現(xiàn)相似

完整論文：

https://arxiv.org/pdf/1902.06720.pdf

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