摘要：話接上文的簡單推導，這篇文章我們來看單類。單分類方法常用于異常檢測，或者類別極度不平衡的分類任務中。另一種思路就是，在樣本空間中為此類數據劃定一個大致的邊界。上式表明所有樣本的權重之和為，而球心是所有樣本的加權和。

話接上文(SVM的簡單推導)，這篇文章我們來看單類SVM：SVDD。可能大家會覺得很奇怪，我們為什么需要單分類呢？有篇博客舉了一個很有意思的例子。

花果山上的老猴子，一生閱猴無數，但是從來沒有見過其它的物種。有一天，豬八戒來到花果山找它們的大王，老猴子一聲令下，把這個東西給我綁起來！
這里老猴子很清楚的知道這個外來物種不是同類，但是它究竟是什么，不得而知。老猴子見過很多猴，它知道猴子的特征，而外來生物明顯不符合這個特征，所以它就不是猴子。
這就是一個單分類的簡單例子。
而美猴王看到這個場景后，哈哈一笑，把這呆子抬過來！
對比二分類，顯著的區別就是，二分類不但能得出來這個東西不是猴子，他還能告訴你這個東西叫“呆子”（當然我們的美猴王見多識廣，肯定不止是二分類那么簡單了）

今天要介紹的SVDD的全稱是Support vector domain description。首先讓我們簡單了解一下domain description，也就是單分類問題。

不像常見的分類問題，單分類問題的目的并不時將不同類別的數據區分開來，而是對某個類別的數據生成一個描述（description）。這里的description比較抽象，可以理解為是樣本空間中的一個區域，當某個樣本落在這個區域外，我們就認為該樣本不屬于這個類別。

單分類方法常用于異常檢測，或者類別極度不平衡的分類任務中。

當我們假設數據服從一個概率分布，我們就可以對這個分布中的參數進行估計了。對于一個新樣本，如果這個樣本在給定類別的概率分布中的概率小于閾值，就會被判定為異常樣本。

但是這樣的方法存在的問題是，

預先假定的概率分布對模型性能的影響很大。

當特征的維度很大的時候，該方法需要一個很大的數據集。

一些低密度區域的樣本點會被誤判為異常樣本。

另一種思路就是，在樣本空間中為此類數據劃定一個大致的邊界。如何劃定這個邊界，就是SVDD要研究的問題啦。

假設我們有$m$個樣本點，分別為$x^{(1)},x^{(2)},cdots,x^{(m)}$。

我們假設這些樣本點分布在一個球心為$a$，半徑為$R$的球中。那么樣本$x^{(i)}$滿足

$$ (x^{(i)}-a)^T(x^{(i)}-a)leq R^2. $$

引入松弛變量，我們允許部分樣本不再這個球中，那么

$$ (x^{(i)}-a)^T(x^{(i)}-a)leq R^2+xi_i,xigeq 0. $$

我們的目標是最小球的半徑$R$和松弛變量的值，于是目標函數是

$$ egin{align} min_{a,xi_i} & R^2+Csum_{i=1}^mxi_i { m s.t.} & (x^{(i)}-a)^T(x^{(i)}-a)leq R^2+xi_i, &xi_igeq 0,i=1,2,cdots,m. end{align} $$

其中，$C>0$是懲罰參數，由人工設置。

使用拉格朗日乘子法，得到拉格朗日函數

$$ egin{align} L(R,a,alpha,xi,gamma)=& R^2+Csum_{i=1}^mxi_i & -sum_{i=1}^malpha_ileft(R^2+xi_i({x^{(i)}}^Tx^{(i)}-2a^Tx^{(i)}+a^2) ight)-sum_{i=1}^m gamma_ixi_i. end{align} $$

其中，$alpha_ige 0,gamma_ige 0$是拉格朗日乘子。令拉格朗日函數對$R,a,xi_i$的偏導為0，得到

$$ egin{align} &sum_{i=1}^m alpha_i=1, &a=sum_{i=1}^m alpha_ix^{(i)}, &C-alpha_i-gamma_i=0 end{align} $$

我們可以將$alpha_i$看作樣本$x^{(i)}$的權重。上式表明所有樣本的權重之和為1，而球心$a$是所有樣本的加權和。將上式帶入到拉格朗日函數中，得到原問題的對偶問題

$$ egin{align} max_alpha &L(alpha)=sum_{i=1}^malpha_i{x^{(i)}}^Tx^{(i)}-sum_{i=1}^msum_{j=1}^m alpha_ialpha_j{x^{(i)}}^Tx^{(j)} { m s.t.} & 0lealpha_ile C, & sum_{i=1}^malpha_i=1,i=1,2,cdots,m. end{align} $$

當通過求解對偶問題得到$alpha_i$后，可以通過$a=sum_{i=1}^m alpha_ix^{(i)}$計算球心$a$。至于半徑$R$，則可以通過計算球與支持向量（$alpha_i< C$）之間的距離得到。當$alpha_i=C$時，意味著樣本$x^{(i)}$位于球的外面。

對于一個新的樣本點$z$，如果它滿足下式，那么我們認為它是一個異常點。

$$ (z-a)^T(z-a)> R^2. $$

展開上式，得

$$ z^Tz-2sum_{i=1}^m alpha_iz^Tx^{(i)}+sum_{i=1}^msum_{j=1}^malpha_ialpha_j{x^{(i)}}^Tx^{(j)}>R^2. $$

正常情況下，數據并不會呈現球狀分布，因此有必要使用核函數的方法提高模型的表達能力。

只需將$cal K(x^{(i)},x^{(j)})$替換${x^{(i)}}^Tx^{(j)}$即可。于是對偶問題的目標函數變為

$$ L(alpha)=sum_i alpha_ical K(x^{(i)},x^{(i)})-sum_isum_j alpha_ialpha_jcal K(x^{(i)},x^{(j)}). $$

判別函數變為

$$ {cal K}(z,z)-2sum_i alpha_i {cal K}(z,x^{(i)})+sum_isum_j alpha_ialpha_j {cal K}(x^{(i)},x^{(j)})- R^2. $$

下面考慮核函數的影響。

多項式核

多項式核函數的表達式如下

$$ {cal K}left({x^{(i)}}^Tx^{(j)} ight)=left({x^{(i)}}^Tx^{(j)}+1 ight)^d. $$

如下圖所示，多項式核實際上不太適合SVDD。特別是當d取值非常大的時候。

高斯核

高斯核函數的表達式如下

$$ {cal K}left({x^{(i)}}^Tx^{(j)} ight)=expleft(frac{-left(x^{(i)}-x^{(j)} ight)^2}{s^2} ight). $$

如下圖，相比于多項式核函數，高斯核函數的結果就合理多了。可以看到模型的復雜程度隨著$s$的增大而減小。

可通過下面的代碼在python中使用單類SVM

from sklearn.svm import OneClassSVM

Tax D M J, Duin R P W. Support vector domain description[J]. Pattern recognition letters, 1999, 20(11-13): 1191-1199.