摘要：邏輯回歸將樣本特征和樣本發生的概率聯系起來，用于解決分類問題。因此可對二分類的分類方式為損失函數如果實際的分類為，越小時，損失越大如果實際的分類為，越大時，損失越大。對于有樣本的數據集，損失函數為其中。

邏輯回歸將樣本特征和樣本發生的概率聯系起來，用于解決分類問題。

在最簡單的二分類中，邏輯回歸里樣本發生的概率的值域為 [0, 1]，對于線性回歸 $hat{y} = heta^T·x_b$，為了將 $hat y$ 映射到值域 [0, 1] 中，引入了 $sigma$ 函數得到了概率函數 $hat p$，即：

$$ hat p=sigma( heta^T·x_b), hat pin[0, 1] $$

Sigmoid 函數 $sigma$ 表示為：$sigma(t)=frac{1}{1+e^{-t}}$，圖示如下：

當 t > 0 時，$sigma$ > 0.5；當 t < 0 時，$sigma$ < 0.5。因此可對二分類的分類方式為：

$$hat y=egin{cases} 1, & hat p geq 0.5 0, & hat p leq 0.5 end{cases}; hat p=sigma( heta^T·x_b)=frac{1}{1+e^{- heta^T·x_b}}$$

如果實際的分類為1，p 越小時，損失越大；如果實際的分類為0，p 越大時，損失越大。引入 log 函數表示則為：

$$ -ylog(hat p)-(1-y)log(1-hat p) $$

當 y=0 時，損失為 $-log(1-hat p)$；當 y=1 時，損失為 $-log(hat p)$。

對于有 m 樣本的數據集 (X, y)，損失函數為：

$$ J( heta)=-frac{1}{m}sum_{i=1}^my^{(i)}log(sigma(X_b^{(i)} heta))+(1-y^{(i)})log(1-sigma(X_b^{(i)} heta)) $$

其中：$X_b^{(i)} = (1,x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},...,x_{n}^{(i)})$；$ heta = ( heta_{0}, heta_{1}, heta_{2},..., heta_{n})^T$。

為了得到在損失盡可能的小的情況下的 $ heta$，可以對 $J( heta)$ 使用梯度下降法，結果為：

$$ abla J( heta) = frac{1}{m}·egin{pmatrix} sum_{i=1}^{m}(sigma(X_b^{(i)} heta) - y^{(i)}) sum_{i=1}^{m}(sigma(X_b^{(i)} heta) - y^{(i)})·X_1^{(i)} sum_{i=1}^{m}(sigma(X_b^{(i)} heta) - y^{(i)})·X_2^{(i)} cdots sum_{i=1}^{m}(sigma(X_b^{(i)} heta) - y^{(i)})·X_n^{(i)} end{pmatrix} $$

略去了公式的推導過程。

進行向量化處理后結果為：

$$ abla J( heta) = frac{2}{m}·X_b^T·(sigma(X_b heta)-y) $$

使用 Scikit Learn 的規范將邏輯回歸的過程封裝到 LogisticRegression 類中。

_init_() 方法首先初始化邏輯回歸模型，_theta 表示 $ heta$，interception_ 表示截距，chef_ 表示回歸模型中自變量的系數：

class LogisticRegression:
    def __init__(self):
        self.coef_ = None
        self.interceiption_ = None
        self._theta = None

_sigmoid() 方法實現 Sigmoid 函數：

def _sigmoid(self, t):
    return 1 / (1 + np.exp(-t))

fit() 方法根據訓練數據集訓練模型，J() 方法計算損失 $J heta$，dJ() 方法計算損失函數的梯度 $ abla J( heta)$，gradient_descent() 方法就是梯度下降的過程，X_b 表示添加了 $x_{0}^{(i)}equiv1$ 的樣本特征數據：

def fit(self, X_train, y_train, eta=0.01, n_iters=1e4):
    def J(theta, X_b, y):
        y_hat = self._sigmoid(X_b.dot(theta))
        try:
            return - np.sum(y * np.log(y_hat) + (1 - y) * np.log(1- y_hat) ** 2) / len(y)
        except:
            return float("inf")

    def dJ(theta, X_b, y):
        return X_b.T.dot(self._sigmoid(X_b.dot(theta)) - y) /len(y)

    def gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, n_iters=n_iters, epsilon=1e-8):
        theta = initial_theta
        i_ters = 0

        while i_ters < n_iters:
            gradient = dJ(theta, X_b, y)
            last_theta = theta

            theta = theta - eta * gradient

            if (abs(J(theta, X_b, y) - J(last_theta, X_b, y)) < epsilon):
                break

            i_ters += 1

        return theta
                
    X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train), 1)), X_train])
    initial_theta = np.zeros(X_b.shape[1])

    self._theta = gradient_descent(X_b, y_train, initial_theta, eta)
    self.interception_ = self._theta[0]
    self.coef_ = self._theta[1:]

    return self

predict_proba() 將傳入的測試數據與訓練好模型后的 $ heta$ 經過計算后返回該測試數據的概率：

def predict_proba(self, X_predict):
    X_b = np.hstack([np.ones((len(X_predict), 1)), X_predict])
    return self._sigmoid(X_b.dot(self._theta))

predict() 方法將經過 predict_proba() 方法得到的測試數據的概率以 0.5 為界轉換成類別（0或1）：

def predict(self, X_predict):
    proba = self.predict_proba(X_predict)
    return np.array(proba >= 0.5, dtype="int")

score() 將測試數據集的預測分類與實際分類進行比較計算模型準確度：

def score(self, X_test, y_test):
    y_predict = self.predict(X_test)
    return sum(y_predict == y_test) / len(y_test)

對于 $hat p=sigma( heta^T·x_b)=frac{1}{1+e^{- heta^T·x_b}}$，要使 $hat p=0.5$ 則 $ heta^T·x_b=0$，這就是決策邊界。

假設 X 數據集只有兩個特征，則由 $ heta_0+ heta_1x_1+ heta_2x_2=0$ 得到 $x_2$ 和 $x_1$ 的關系為：

$$ x_2=frac{- heta_0- heta_1x_1}{ heta_2} $$

如圖所示，圖中的點為只有兩個特征的數據，縱軸為特征 $x_2$，橫軸為特征 $x_1$，梯度下降法得到的 $ heta$ 與上面公式計算后的決策邊界即為圖中斜線：

對于多項式回歸，如對 $y=x_1^2+x_2^2-r$ 進行邏輯回歸，可以將 $x_1^2$ 看作一個特征 $z_1$，將 $x_2^2$ 看作一個特征 $z_2$，Scikit Learn 提供了 PolynomialFeatures 可以方便的進行轉換。

舉例如下。首先準備數據：

import numpy as np

X = np.random.normal(0, 1, size=(200, 2))
y = np.array(X[:, 0] ** 2 + X[:, 1] ** 2 < 1.5, dtype="int")

數據可視化如圖：

使用前面的 LogisticRegression 類進行邏輯回歸，并且使用 Scikit Learn 的 Pipeline 將多項式特征、數據歸一化和邏輯回歸組合在一起：

from LogisticRegression import LogisticRegression
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

def PolynomailLogisticRegression(degree):
    return Pipeline([
        ("poly", PolynomialFeatures(degree=degree)),
        ("std_scaler", StandardScaler()),
        ("log_reg", LogisticRegression())
    ])

設定 PolynomialFeatures 處理后得到的新的特征數據最高維度為2，然后 fit() 方法訓練模型：

poly_log_reg = PolynomailLogisticRegression(degree=2)
poly_log_reg.fit(X, y)

得到模型可視化如圖：

Scikit Learn 中的 linear_model 模塊中也提供了邏輯回歸的算法，同時也封裝了模型正則化相關的內容。

根據正則化中的正則項的不同，正則化的方式主要有四種：

$J( heta)+alpha L_1$

$J( heta)+alpha L_2$

$C·J( heta)+L_1$

$C·J( heta)+L_2$

Scikit Learn 中的邏輯回歸算法的模型正則化采用后兩種的方式。

L1 為 L1正則項，即 $sum_{i=1}^n|	heta_i|$，LASSO 回歸使用了L1；
L2 為 L2正則項，即 $frac{1}{2}sum_{i=1}^n	heta_i^2$，嶺回歸使用了L2；

Scikit Learn 的邏輯回歸算法中的參數 c 設定 C 的大小，參數 penalty 設定使用哪種正則項（l1 或 l2）。使用方式如下：

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

def PolynomailLogisticRegression(degree, C, penalty="l2"):
    return Pipeline([
        ("poly", PolynomialFeatures(degree=degree)),
        ("std_scaler", StandardScaler()),
        ("log_reg", LogisticRegression(C=C, penalty=penalty))
    ])

poly_log_reg = PolynomailLogisticRegression(degree=20, C=0.1, penalty="l1")
poly_log_reg.fit(X_train, y_train)

前面說的都是二分類的邏輯回歸，如果要進行多分類的邏輯回歸，有 OvR 和 OvO 兩種方式。

OvR（One vs Rest）將多類別簡化成其中一個類別和其余類別為一個類別這種二分類，因此 n 個類別就進行 n 次分類，對于新的數據，看它在這 n 個分類結果中哪個分類得分最高即為哪個類別。

OvO（One vs One）在多類別中選取兩個類別作為二分類，因此 n 個類別就進行 $C_n^2$ 次分類，對于新的數據，看它在這 $C_n^2$ 次分類結果中數量最大即為哪個類別。

Scikit Learn 的邏輯回歸算法中的參數 multi_class 用于設定使用 OvR(參數值為 ovr）還是 OvO（參數值為 multinomial），如：

LogisticRegression(multi_class="ovr")
LogisticRegression(multi_class="multinomial")

同時 Scikit Learn 中的 multiclass 模塊中也提供了 OneVsRestClassifier（OvR）類和 OneVsOneClassifier（OvO）類，可以將任意的二分類算法（要求符合 Scikit Learn 規范）應用在這兩個類上完成多分類。使用方式如下：

# OvR
from sklearn.multiclass import OneVsRestClassifier
ovr = OneVsRestClassifier(LogisticRegression())
ovr.fit(X, y)

# OvO
from sklearn.multiclass import OneVsOneClassifier
ovo = OneVsOneClassifier(log_reg)
ovo.fit(X, y)

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