摘要：默認針對每列來進行標準化，也即針對每個特征進行標準化。歸一化歸一化的目的是讓每個樣本具有單位范數。默認是對每行數據用范數進行歸一化，我們也可以選擇范數或者針對每列進行歸一化。

標準化是為了讓數據服從一個零均值和單位方差的標準正態分布。也即針對一個均值為 $mean$ 標準差為 $std$ 的向量 $X$ 中的每個值 $x$，有 $x_{scaled} = frac{x - mean}{std}$。

>>> from sklearn import preprocessing
>>> import numpy as np

>>> X_train = np.array([[ 1., -1.,  2.],
...                     [ 2.,  0.,  0.],
...                     [ 0.,  1., -1.]])

>>> X_scaled = preprocessing.scale(X_train)
>>> X_scaled                                          
array([[ 0.  ..., -1.22...,  1.33...],
       [ 1.22...,  0.  ..., -0.26...],
       [-1.22...,  1.22..., -1.06...]])

>>> X_scaled.mean(axis=0)
array([0., 0., 0.])

>>> X_scaled.std(axis=0)
array([1., 1., 1.])

默認針對每列來進行標準化，也即針對每個特征進行標準化。可以通過設置 axis=1 來對每行進行標準化，也即對每個樣本進行標準化。sklearn.preprocessing.scale()

此外，我們還可以用訓練數據的均值和方差來對測試數據進行相同的標準化處理。sklearn.preprocessing.StandardScaler()

>>> scaler = preprocessing.StandardScaler().fit(X_train)
>>> scaler
StandardScaler(copy=True, with_mean=True, with_std=True)

>>> scaler.mean_                                      
array([1. ..., 0. ..., 0.33...])

>>> scaler.scale_                                       
array([0.81..., 0.81..., 1.24...])

>>> scaler.transform(X_train)                           
array([[ 0.  ..., -1.22...,  1.33...],
       [ 1.22...,  0.  ..., -0.26...],
       [-1.22...,  1.22..., -1.06...]])

>>> X_test = [[-1., 1., 0.]] # 用同樣的均值和方差來對測試數據進行標準化
>>> scaler.transform(X_test)                
array([[-2.44...,  1.22..., -0.26...]])

有時候，我們需要數據處在給定的最大值和最小值范圍之間，常常是 0 到 1 之間，這樣數據的最大絕對值就被限制在了單位大小以內。

>>> X_train = np.array([[ 1., -1.,  2.],
...                     [ 2.,  0.,  0.],
...                     [ 0.,  1., -1.]])
...
>>> min_max_scaler = preprocessing.MinMaxScaler()
>>> X_train_minmax = min_max_scaler.fit_transform(X_train)
>>> X_train_minmax
array([[0.5       , 0.        , 1.        ],
       [1.        , 0.5       , 0.33333333],
       [0.        , 1.        , 0.        ]])

>>> X_test = np.array([[-3., -1.,  4.]]) # 將同樣的變換應用到測試數據上
>>> X_test_minmax = min_max_scaler.transform(X_test)
>>> X_test_minmax
array([[-1.5       ,  0.        ,  1.66666667]])

當 MinMaxScaler() 傳入一個參數 feature_range=(min, max)，我們可以將數據縮放到我們想要的范圍內。sklearn.preprocessing.MinMaxScaler()

X_std = (X - X.min(axis=0)) / (X.max(axis=0) - X.min(axis=0))
X_scaled = X_std * (max - min) + min

此外，我們還可以將數據限制在 [-1， 1] 之間，通過除以每個特征的最大絕對值。sklearn.preprocessing.MaxAbsScaler()

>>> X_train = np.array([[ 1., -1.,  2.],
...                     [ 2.,  0.,  0.],
...                     [ 0.,  1., -1.]])
...
>>> max_abs_scaler = preprocessing.MaxAbsScaler()
>>> X_train_maxabs = max_abs_scaler.fit_transform(X_train)
>>> X_train_maxabs               
array([[ 0.5, -1. ,  1. ],
       [ 1. ,  0. ,  0. ],
       [ 0. ,  1. , -0.5]])

>>> X_test = np.array([[ -3., -1.,  4.]])
>>> X_test_maxabs = max_abs_scaler.transform(X_test)
>>> X_test_maxabs                 
array([[-1.5, -1. ,  2. ]])
>>> max_abs_scaler.scale_         
array([2.,  1.,  2.])

歸一化的目的是讓每個樣本具有單位范數。也即針對向量 $X$ 中的每個值 $x$，有 $x_{normalized} = frac{x}{||X||}$。

>>> X = [[ 1., -1.,  2.],
...      [ 2.,  0.,  0.],
...      [ 0.,  1., -1.]]
>>> X_normalized = preprocessing.normalize(X, norm="l2")

>>> X_normalized                                      
array([[ 0.40..., -0.40...,  0.81...],
       [ 1.  ...,  0.  ...,  0.  ...],
       [ 0.  ...,  0.70..., -0.70...]])

>>> normalizer = preprocessing.Normalizer().fit(X)  # fit does nothing
>>> normalizer
Normalizer(copy=True, norm="l2")

>>> normalizer.transform(X)                            
array([[ 0.40..., -0.40...,  0.81...],
       [ 1.  ...,  0.  ...,  0.  ...],
       [ 0.  ...,  0.70..., -0.70...]])

>>> normalizer.transform([[-1.,  1., 0.]])             
array([[-0.70...,  0.70...,  0.  ...]])

默認是對每行數據用 $L2$ 范數進行歸一化，我們也可以選擇 $L1$ 范數或者針對每列進行歸一化。sklearn.preprocessing.Normalizer()

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