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蓋爾金圓定理及嚴格對角占優矩陣(SDD)

Godtoy / 2462人閱讀

摘要:蓋爾金圓定理蓋爾金圓定理是線性代數中一個有趣而實用的定理,可以用它來描述矩陣的特征值。下面給出如何在復平面上畫方陣的蓋爾金圓的代碼,如下該方陣的蓋爾金圓分布如下圖以下給出蓋爾金圓定理在嚴格對角占優矩陣中的應用。

蓋爾金圓定理(Gersghorin Circle Thorem)

??蓋爾金圓定理(Gersghorin Circle Thorem)是線性代數中一個有趣而實用的定理,可以用它來描述矩陣的特征值。首先我們先來看一下蓋爾金圓定理。
??(蓋爾金圓定理)對于任意的$n$階方陣$A$,若$lambda$是$A$的一個特征值,則存在$1leq ileq n$,使得$|lambda - a_{ii}| leq sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}|.$
證明:
??若$lambda$是$A$的一個特征值,設其特征向量為$x$,可以選取$i$使得$|x_i|=maxlimits_{j=1,2,...,n} |x_{j}|=1,$這總是可以做到的,因為特征向量乘上任何數(除0外)仍為特征向量。
??根據特征值和特征向量的定義,有$Ax=lambda x$,因此有:
$$sumlimits_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=lambda x_{i}.$$
從而:
$$|(lambda-a_{ii})x_{i}|=|lambda-a_{ii}|leq sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}x_{j}|leq sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}|.$$
證明完畢
??對于任意一個方陣,我們只要畫出它在復平面上的蓋爾金圓,就能推測出特征值的分布情況了,因為該方陣的所有特征值總是在這些圓中某一個內。
??下面給出如何在復平面上畫方陣的蓋爾金圓的Python代碼,如下:

</>復制代碼

  1. # Plotting Gershgorin Circles for any square matrix
  2. from matplotlib.patches import Circle
  3. import matplotlib.pyplot as plt
  4. from math import sqrt
  5. import numpy as np
  6. # example matrix, each entity can be complex number
  7. A = np.array([[5, 0, 0, -1],
  8. [1, 0, -1, 0],
  9. [-1.5, 1, -2, 1],
  10. [-1, 1, 1, -3j]
  11. ],dtype="complex")
  12. # begin plotting figure
  13. fig = plt.figure()
  14. ax = fig.add_subplot(111)
  15. # Circle: |A[i,i]-z| <= sum(|A[i,j]| for j in range(n) and j != i)
  16. for i in range(A.shape[0]):
  17. real = A[i,i].real # each complex"s real part
  18. imag = A[i,i].imag # each complex"s image part
  19. # calculate the radius of each circle
  20. radius = -sqrt(A[i,i].real**2+A[i,i].imag**2)
  21. for j in range(A.shape[0]):
  22. radius += sqrt(A[i,j].real**2+A[i,j].imag**2)
  23. # add the circle to the figure and plot the center of the circle
  24. cir = Circle(xy = (real,imag), radius=radius, alpha=0.5, fill=False)
  25. ax.add_patch(cir)
  26. x, y = real, imag
  27. ax.plot(x, y, "ro")
  28. # title
  29. plt.title("Gershgorin Circles of Matrix")
  30. # show the figure which can be used for analyse eigenvalues of the matrix
  31. plt.savefig("E://GCircle.png")

該方陣的蓋爾金圓分布如下圖:

??以下給出蓋爾金圓定理在 嚴格對角占優矩陣中的應用。

嚴格對角占優矩陣(SDD)

??嚴格對角占優矩陣(Strictly Diagonally Dominant Matrix, SDD)是數值分析中的一個重要概念,它能保證Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性。
??所謂SDD,指的是滿足以下條件的方陣:
$$|a_{ii}| > sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}|, forall i =1,2,...,n.$$
通俗地來理解,就是主對角線上的每個元素的模(或者絕對值)都大于該元素所在行的所有元素(除掉它本身)的模(或者絕對值)的總和。
??下面給出SDD的幾個重要性質。
(SDD的性質)SDD必定是非奇異矩陣。
證明:若$A$為SDD,它不是非奇異矩陣,則$A$至少有一個特征值為0,從而由蓋爾金圓定理可知,存在$1leq ileq n$,使得$|a_{ii}| leq sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}|.$ 此與SDD的定義矛盾。從而SDD必定是非奇異矩陣。

(SDD的性質)若$A$為SDD,則$Ax=b$有解。
證明:因為$A$為SDD,故$A$可逆,從而$x=A^{-1}b.$

(SDD的性質)若$A$為SDD,則對于方程$Ax=b$, Jacobi迭代法, Gauss-Seidel迭代法,SOR迭代法收斂。
證明:因為我們還沒講到Jacobi迭代法, Gauss-Seidel迭代法,SOR迭代法,因此我們將在之后的博客中給出該性質的證明,敬請期待。

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