摘要：全概率然后再看全概率公式。式子體現的是問題分為兩個階段選人，分割問題計算分割的子問題的條件概率對應的這里來便是選小偷，誰去偷選定的小偷作為條件，那么他去偷的條件概率是什么所以將問題拆解為階段的問題便是全概率公式針對的問題。

條件概率

首先，理解這兩個公式的前提是理解條件概率，因此先復習條件概率。

P(A|B)=P(AB)P(B)
理解這個可以從兩個角度來看。
第一個角度：在B發生的基礎上，A發生的概率。那么B發生這件事已經是個基礎的條件了，現在進入B已經發生的世界，看看A發生的概率是多少。那么分子就是B發生A也發生，分母就是B這個世界發生的概率了。分母如果是1，那么成了什么意思呢？

另一個角度是看韋恩圖。這里A在B發生的基礎上發生的概率是A和B交集的陰影部分面積占用B的比例。

那么由條件概率出發，看一下變形出來的乘法公式：
P(AB)=P(A)?P(B|A)=P(B)?P(A|B)
也可以提供上面的兩個角度來理解這個公式，雖然可以由上面的直接推導，但是我們認為這是問題的思考的不同角度，不僅僅是公式之間的運算。

一：AB同時發生的概率是在A基礎上發生B的概率乘以A本身在外部發生的概率，也是B基礎上發生A的概率乘以B本身在外部發生的概率.
二：AB表示的是陰影部分的面積占用A或者B的比例關系。

僅僅從形式上說，豎線后面的要在前面多乘以一個以達到平衡。

全概率

然后再看全概率公式。

一個別人舉的例子：

一個村子與三個小偷，小偷偷村子的事件兩兩互斥，求村子被偷的概率。
解釋：假設這三個小偷編號為A1,A2,A2；
偷東西的事件標記為B,不偷的話標記為：Bˉˉˉ
那么被偷的概率就是：要么是A1，要么是A2，要么是A3，
如果是A1, 概率是什么呢？首先得是A1,其次是村子被偷，也即是兩個事件都滿足，所以是P(A1B)
同理，可以得到P(A2B),P(A3B)
又因這三個小偷兩兩互斥，表示不會同時去偷。所以被偷的概率是：

P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
當然按照條件概率或者乘法公式展開：
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) （*）

PS: P(Ai),P(B|Ai)是已知的
問：是不是有想展開為：

P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)的沖動？

當然這個式子是沒錯的，但是體現不了這個問題的解法：分階段。

（*）式子體現的是問題分為兩個階段：
1）選人，分割問題
2）計算分割的子問題的條件概率

對應的這里來便是：
1）選小偷，誰去偷
2）選定的小偷作為條件，那么他去偷的條件概率是什么

所以將問題拆解為階段的問題便是全概率公式針對的問題。

貝葉斯公式

貝葉斯公式有意思極了，簡單說就是逆全概公式。

前面是問總體看來被偷的概率是多少，現在是知道了總體被偷了這件事，概率并不知道，問你個更有意思的問題，像是偵探斷案：是哪個小偷的偷的，計算每個小偷偷的概率。

這個特性用在機器學習，人工智能領域相當好用。

也就是求：P(Ai|B)=P(AiB)P(B)
Ai:小偷i干的；B:村子被偷了
首先是一個淳樸的條件概率的展開。
分母里出現了P(B),剛剛討論的全概公式拿來用一用！
而P(AiB)=P(Ai)?P(B|Ai)
對應到上面的例子就鮮活一些：村子被偷了，求Ai偷的概率。

自然現在條件是P(B)，分子變形為P(AiB)=P(Ai)?P(B|Ai)，是因為假定就是Ai偷的，這是一個已知的概率。
分母P(B)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai)
20161223 update:

除了上面的思路外，通常需要注意的是分階段意味著時間的先后。在先進行的事件的基礎上進行后面的事件，就很容易計算概率：P(AB)=P(A)P(B|A)這種。

所以當我們需要計算先驗概率，即先發生的時間的概率時，總是想著用上面的這個類型來計算，且是通過條件概率進行過渡。