摘要：函數將任意維的實值向量轉換為取值范圍在之間的維實值向量，并且總和為。將原始輸入映射到區間，并且總和為，常用于表征概率。這個性質用于保證數值的穩定性。當輸入一個較大的數值時，函數將會超出限制，導致出錯。

softmax函數將任意n維的實值向量轉換為取值范圍在(0,1)之間的n維實值向量，并且總和為1。
例如：向量softmax([1.0, 2.0, 3.0]) ------> [0.09003057, 0.24472847, 0.66524096]

性質：

因為softmax是單調遞增函數，因此不改變原始數據的大小順序。

將原始輸入映射到(0,1)區間，并且總和為1，常用于表征概率。

softmax(x) = softmax(x+c), 這個性質用于保證數值的穩定性。

一個最簡單的計算給定向量的softmax的實現如下：

import numpy as np
def softmax(x):
"""Compute the softmax of vector x."""
    exp_x = np.exp(x)
    softmax_x = exp_x / np.sum(exp_x)
    return softmax_x 

讓我們來測試一下上面的代碼：

softmax([1, 2, 3])
array([0.09003057, 0.24472847, 0.66524096])

但是，當我們嘗試輸入一個比較大的數值向量時，就會出錯：

softmax([1000, 2000, 3000])
array([nan, nan, nan])

這是由numpy中的浮點型數值范圍限制所導致的。當輸入一個較大的數值時，sofmax函數將會超出限制，導致出錯。
為了解決這一問題，這時我們就能用到sofmax的第三個性質，即：softmax(x) = softmax(x+c)，
一般在實際運用中，通常設定c = - max(x)。
接下來，我們重新定義softmax函數：

import numpy as np
def softmax(x):
"""Compute the softmax in a numerically stable way."""
    x = x - np.max(x)
    exp_x = np.exp(x)
    softmax_x = exp_x / np.sum(exp_x)
    return softmax_x

然后再次測試一下：

softmax([1000, 2000, 3000])
array([ 0.,  0.,  1.])

Done!

以上都是基于向量上的softmax實現，下面提供了基于向量以及矩陣的softmax實現，代碼如下：

import numpy as np
def softmax(x):
    """
    Compute the softmax function for each row of the input x.

    Arguments:
    x -- A N dimensional vector or M x N dimensional numpy matrix.

    Return:
    x -- You are allowed to modify x in-place
    """
    orig_shape = x.shape

    if len(x.shape) > 1:
        # Matrix
        exp_minmax = lambda x: np.exp(x - np.max(x))
        denom = lambda x: 1.0 / np.sum(x)
        x = np.apply_along_axis(exp_minmax,1,x)
        denominator = np.apply_along_axis(denom,1,x) 
        
        if len(denominator.shape) == 1:
            denominator = denominator.reshape((denominator.shape[0],1))
        
        x = x * denominator
    else:
        # Vector
        x_max = np.max(x)
        x = x - x_max
        numerator = np.exp(x)
        denominator =  1.0 / np.sum(numerator)
        x = numerator.dot(denominator)
    
    assert x.shape == orig_shape
    return x