摘要:好多內容自己會但不一定講的明白,講的明白也不一定寫的明白思路對于任意的一個頁碼數,將其分為兩部分個位數部分數字和其他部分數字。
算法作業有一個小的題目:
一本書的頁碼從自然數1開始編碼直到自然數n,按照通常的習慣,每個頁碼都不包含多余的前導數字0,例如第6頁用數字6而不是06或者006表示。現在給定表示書的總頁碼的十進制整數n(1 =< n <= 10^9),編程計算書的全部頁碼中分別用到多少次數字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
比如一本數有123頁,那么各數字出現次數如下圖:
解題思路不是很難想到,但是在寫作業報告,發現很難清楚地把這個算法過程給寫出來。于是就認真組織了語言,配上幾幅圖片,希望能把算法講明白。(好多內容自己會但不一定講的明白,講的明白也不一定寫的明白)
思路對于任意的一個頁碼數,將其分為兩部分:個位數部分數字和其他部分數字。那么對于總頁碼為N的書本,其所有的頁碼可以放在如下的一個表格中,綠色表格代表頁碼,里面的任意數字Xi = i * 10 + j(方便我們理解,這里假設N-3==0):
現在要做的就是統計所有綠色表格中數字0到9出現的次數,綠色表格(也即任意一個頁碼)中數字組成其實可以拆分為對應的行和列的數字組成。例如對于頁碼123,其中1、2、3各出現1次,它對應的行的是123/10=12,列為123%10=3,12和3中1、2、3也是各出現一次。
要計算所有的頁碼中0到9出現的總次數,可以轉換為所有行中0到9出現的次數和所有列中0到9出現的次數。對于每一個綠色表格,其對應的行和列中數字各出現一次。因此我們可以先統計每一行和每一列綠色方格的數目,然后就可以得出每一行和每一列中0數字出現的次數。如下圖:
行的計數:注意由于頁碼沒有01頁、02頁這一說法,所以行[0]中0出現0次,行[1]中1出現10次,行[2]中2出現10次...行[11]中11出現10次...;
列的計數:列[0]中0出現N/10次,列[1]中1出現N/10+1次...列[9]中9出現N/10次。
看上去每行每列數字出現的次數有點凌亂,其實稍微劃分一下組成部分就可以了,如下分為五部分來計算(這里假設N-3==0,方便我們講解):
第一部分:第一行[0]中各列數字均出現1次;
第二部分:最后一行[N/10]中列[0]、列[1]、列[2]、列[3]中數字0、1、2、3各出現1次;
第三部分:列[0]到列[9]中0、1、2...9每個數字都出現N/10 - 1次。
第四部分:行[1]到行[N/10-1]中每個數字出現的次數(也就是總頁碼為N/10 - 1時各個數字出現的次數--這里要遞歸哦)乘以10。
第五部分:行[N/10]中每個數字均出現4次。
實現Python實現如下:
def count_num(num): nums = [0 for x in range(10)] if num < 10: for i in range(1, num + 1): nums[i] = 1 return nums # Part 1 for i in range(1, 10): nums[i] += 1 # Part 2 units = num % 10 for i in range(0, units + 1): nums[i] += 1 # Part 3 others = num / 10 - 1 for i in range(0, 10): nums[i] += others # Part4 count_others = count_num(others) for i in range(10): times_i = count_others[i] * 10 nums[i] += times_i # Part 5 digit_keep = [] while num > 0: digit_keep.append(num % 10) num = num / 10 times_units = digit_keep[0] + 1 for digit in digit_keep[1:]: nums[digit] += times_units return nums
這篇文章沒有什么技術干貨,純粹逼自己試著去把一些算法寫的明白,大家覺得那塊講的不明白,我可以持續改進哈。
可以去我的主頁看更多的博客。
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