摘要：我們對不等式兩邊分別取對數根據貝葉斯公式我們開始假設過，兩個類別分別服從均值不等，方差相等的高斯分布，根據高斯分布的公式有高斯分布忽略常數項方差也是相等的是常熟，可以使用矩陣的表示。詳細推導對值取冪，以及等式取等號計算。

什么是邏輯回歸？
邏輯回歸就是這樣的一個過程：面對一個回歸或者分類問題，建立代價函數，然后通過優化方法迭代求解出最優的模型參數，然后測試驗證我們這個求解的模型的好壞。

Logistic 回歸雖然名字里帶“回歸”，但是它實際上是一種分類方法，主要用于兩分類問題（即輸出只有兩種，分別代表兩個類別）

回歸模型中，y是一個定性變量，比如y=0或1，logistic方法主要應用于研究某些事件發生的概率

概念解釋

它的表達式是:

$$ f(x) = frac{1}{1 + e^{- heta}} $$

$$ heta = WX + B $$

可以發現，經過sigmoid函數轉換后, 輸出值是在[0, 1]之間，可以認為輸出是概率，下面就來詳細的推導：

為了計算方便, 我們只討論二分類.

首先, 邏輯回歸進行了一個假設，兩個類別都服從均值不同，方差相同(方便推導)的高斯分布

$$ p(y|x=0) = mu(mu_0, sigma) $$

$$ p(y|x=1) = mu(mu_1, sigma) $$

高斯分布是比較容易處理的分布，根據中心極限定理也知道，最終會收斂于高斯分布。
從信息論的角度上看，當均值和方差已知時（盡管你并不知道確切的均值和方差，但是根據概率論，當樣本量足夠大時，樣本均值和方差以概率1趨向于均值和方差），高斯分布是熵最大的分布，為什么要熵最大？因為最大熵的分布可以平攤你的風險（同一個值會有兩個點可以取到, 不確定性很大），這就好比不要把雞蛋放到同一個籃子里，想想二分查找中，為什么每次都是選取中間點作為查找點？就是為了平攤風險（假設方差相等只是為了計算方便）。

風險

$$ Risk(y=0|x) = lambda_{00}P(y=0|x) + lambda_{01}P(y = 1|x) $$

$$ Risk(y=1|x) = lambda_{10}P(y=0|x) + lambda_{11}P(y = 1|x) $$

其中，$Risk(y=0|x)$是把樣本預測為0時的風險，$Risk(y=1|x)$是把樣本預測為1時的風險，
$λ_{ij}$是樣本實際標簽為j時，卻把它預測為i是所帶來的風險。

我們認為預測正確并不會帶來風險，因此$λ_{00}$和$λ_{11}$都為0，此外，我們認為當標簽為0而預測為1 和 當標簽為1而預測為0，這兩者所帶來的風險是相等的，因此$λ_{10}$和$λ_{01}$相等，方便起見，我們記為λ。但在一些領域里，比如醫學、風控等，這些λ在大多數情況下是不相等的，有時候我們會選擇“寧可錯殺一一千也不能放過一個”;

那么我們簡化后的表達式:

$$ Risk(y=0|x) = lambda P(y = 1|x) $$

$$ Risk(y=1|x) = lambda P(y=0|x) $$

根據最小化風險的原則，我們通常會選擇風險較小的。

比如:

$$ Risk(y=0|x) < Risk(y=1|x) $$

這就說明了預測為第0類的風險小于預測為第1類的風險。

可以得到：

$$ frac{Risk(y=0|x)}{Risk(y=1|x)} < 1 $$

$$ frac{P(y = 1|x)}{P(y=0|x)} < 1 $$

就是說明預測第1類的概率小于第0類的概率。

我們對不等式兩邊分別取對數

$$ logfrac{{P(y = 1|x)}}{{P(y=0|x)}} < 0 $$

根據貝葉斯公式：

$$ logfrac{P(x|y = 1)p(y=1)}{P(x|y=0)p(y=0)} < 0 $$

$$ logfrac{P(x|y = 1)}{P(x|y=0)} + logfrac{p(y=1)}{p(y=0)} < 0 $$

我們開始假設過，兩個類別分別服從均值不等，方差相等的高斯分布，根據高斯分布的公式有：

高斯分布

$$ g(x) = frac{1}{2pisigma}e^{-frac{(x - mu)^2}{2sigma^2}} $$

忽略常數項（方差也是相等的）

$$ logfrac{P(x|y = 1)}{P(x|y=0)} + loge^{(frac{(x - mu_0)^2}{2sigma^2} - frac{(x - mu_1)^2}{2sigma^2})} $$

$$ logfrac{P(x|y = 1)}{P(x|y=0)} + (frac{(x - mu_0)^2}{2sigma^2} - frac{(x - mu_1)^2}{2sigma^2}) < 0 $$

$$ logfrac{P(x|y = 1)}{P(x|y=0)} < frac{(x - mu_1)^2}{2sigma^2} - frac{(x - mu_0)^2}{2sigma^2} $$

$$ logfrac{P(x|y = 1)}{P(x|y=0)} < frac{mu_0}{sigma^2}x - frac{mu_1}{sigma^2}x + C $$

C是常熟，可以使用矩陣的表示。

$$ logfrac{P(x|y = 1)}{P(x|y=0)} < heta{X} $$

詳細推導

對值取冪，以及等式取等號計算。

$$ frac{P(y=1|x)}{P(y=0|x)} = e^{ heta x} $$

$$ = frac{P(y=1|x)}{1 - P(y=1|x)} = e^{ heta x} $$

$$ = frac{1 - P(y=1|x)}{P(y=1|x)} = e^{- heta x} $$

$$ = frac{1}{P(y=1|x)} - 1 = e^{- heta x} $$

$$ = frac{1}{P(y=1|x)} = e^{- heta x} + 1 $$

$$ = P(y=1|x) = frac{1}{e^{- heta x} + 1} $$

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