摘要：譯者注規(guī)范化就是把小數(shù)點(diǎn)放在第一個非零數(shù)字的后面總結(jié)當(dāng)指數(shù)的范圍是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)不是所有的十進(jìn)制分?jǐn)?shù)都能夠非常精確的表示例如和都不能夠被精確的表示成二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)。相同的，也不能被精確表示成一個十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，它大概能被表示成。

在JavaScript中所有的數(shù)字都是浮點(diǎn)數(shù)，本篇文章將介紹這些浮點(diǎn)數(shù)在JavaScript內(nèi)部是怎樣被轉(zhuǎn)為64位二進(jìn)制的。
我們會特別考慮整數(shù)的處理，所以讀完本篇之后，你會理解為什么會有以下結(jié)果發(fā)生:

> 9007199254740992 + 1
9007199254740992
> 9007199254740992 + 2
9007199254740994

JavaScript數(shù)字全部是浮點(diǎn)數(shù)。 根據(jù)?IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)中的64位二進(jìn)制(binary64), 也稱作雙精度規(guī)范(double precision)來儲存。從命名中可以看出，這些數(shù)字將以二進(jìn)制形式，使用64個字節(jié)來存儲。這些字節(jié)按照以下規(guī)則分配：

0 - 51 字節(jié)是 分?jǐn)?shù)f（fraction?）
   52 - 62 字節(jié)是 指數(shù)（exponent?）
   63 字節(jié) 是 標(biāo)志位 （sign）

他們按照以下規(guī)則表示一個數(shù)字: 如果標(biāo)志位是0， 表示這個數(shù)字為正數(shù)，否則為負(fù)數(shù)。粗略來說，分?jǐn)?shù)f用來表示數(shù)字的‘?dāng)?shù)碼’（0-9），指數(shù)表示這個數(shù)字的‘點(diǎn)’在哪里。接下來我們會使用二進(jìn)制（雖然這并不是通常的浮點(diǎn)數(shù)表示方式）。并用一個%作為前綴來標(biāo)識。雖然JavaScript數(shù)字是以二進(jìn)制保存的，但輸出（打印）時(shí)通常是以10進(jìn)制顯示. 接下來的例子，我們也會沿用這一規(guī)則。

下表是一種表示非負(fù)浮點(diǎn)數(shù)的方法:
尾數(shù) (小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)，significand?或 mantissa ) 以自然數(shù)字的形式保存‘?dāng)?shù)碼’，指數(shù)決定需要往左（負(fù)指數(shù)）或者右（正指數(shù)）移多少位。再忽略位數(shù)，這個JavaScript數(shù)字就是 有理數(shù)1.f乘以2p。
譯者注: 這里指數(shù)用p而不是e來表示是因?yàn)閑是一個偏移量，第三點(diǎn)會詳細(xì)說明

比如以下例子:

需要多少位來編碼一個整數(shù)呢？ 尾數(shù)共有53個數(shù)碼，1個在‘點(diǎn)’的前面，52個在后面，如果p=52，我們就有一個53位的自然數(shù)，現(xiàn)在的問題是最高位總是為1，也就是說我們不能隨便的使用所有的位。要去掉這個限制，我們需要2步，首先. 如果需要最高位是0，第二位是1的53位的數(shù)字，將p設(shè)置為51，這時(shí)分?jǐn)?shù)f最低位變成了‘點(diǎn)’后面的第一個數(shù)碼，也就是整數(shù)0。按照這個規(guī)律，直到指數(shù)p=0，分?jǐn)?shù)f=0，這就是數(shù)字1的編碼。

其次，對于完整的53位數(shù)字，我們還需要表示0，我們將在下一段詳細(xì)介紹。
需要注意的是，我們可以表示完整的53位整數(shù)，因?yàn)闃?biāo)志位是另外儲存的。

指數(shù)占11位，它可以表示0-2047（2^11-1）， 為了支持負(fù)指數(shù)，JavaScript使用偏移二進(jìn)制來編碼: 1023表示0，小于它的為負(fù)，大于它的為正。這就意味著，減去1023才能得到正常點(diǎn)數(shù)字。因此我們之前使用的變量p就等于e-1023,也就是尾數(shù)乘以2^e-1023
例如:

    %00000000000     0  →  ?1023  (最小的數(shù)字)
    %01111111111  1023  →      0
    %11111111111  2047  →   1024  (最大的數(shù)字)
                         
    %10000000000  1024  →      1
    %01111111110  1022  →     ?1 

如果需要一個負(fù)數(shù)，只需要顛倒一下它的位數(shù)，再減一

有2個指數(shù)是保留位。最小的0，和最大的2047. 指數(shù)2047表示無窮大（infinity）和 NaN（非數(shù)字）值。IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)有很多非數(shù)字值， 但是JavaScript把他們都表示為NaN。指數(shù)為0時(shí)有兩個意思。1. 如果分?jǐn)?shù)f也是0，表示這個數(shù)字就是0.因?yàn)闃?biāo)志位是多帶帶存儲的。所以我們有+0和-0;

然后指數(shù)0也可以用來表示非常小的數(shù)字（接近0）。此時(shí)分?jǐn)?shù)f必須為非0，而且，如果這個數(shù)字是由%0.f?× 2^?1022算出來的，這個表示方式叫做非規(guī)范化，而之前我們討論的表示方式叫規(guī)范化。最小的非0正數(shù)可以被規(guī)范化為: %1.0 × 2^?1022。 最大的非規(guī)范化數(shù)字為: %0.1 × 2^?1022， 所以，從規(guī)范化到非規(guī)范化是過渡是平滑的。
譯者注: 規(guī)范化就是把小數(shù)點(diǎn)放在第一個非零數(shù)字的后面

當(dāng)p?=?e?? 1023, 指數(shù)的范圍是?1023 4. 十進(jìn)制分?jǐn)?shù)

不是所有的十進(jìn)制分?jǐn)?shù)都能夠非常精確的表示, 例如:

> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

0.1和0.2都不能夠被精確的表示成二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)。但是這個偏差通常非常非常小，小到不能夠被表示出來，加法可以使這個偏差變得可見:

> 0.1 + 1 - 1
0.10000000000000009

表示0.1相當(dāng)于表示一個分?jǐn)?shù)110，難的部分在于分母是10，10素?cái)?shù)分解是2*5. 而指數(shù)只能分解2，所以沒有辦法得到5。相同的， 1/3也不能被精確表示成一個十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，它大概能被表示成0.333333。
但相對的。要用十進(jìn)制表示一個2進(jìn)制分?jǐn)?shù)卻是永遠(yuǎn)可行的，值需要使用足夠的2（每個10都有1個2）。

%0.001 =?1/8?=?1/2 × 2 × 2?=?5 × 5 × 5/(2×5) × (2×5) × (2×5)?=?125/10 × 10 × 10?= 0.125

因此，當(dāng)你要處理10進(jìn)制分?jǐn)?shù)，不要直接去比較他們，先想一想，它可能會有一個上限，比如有一個上限叫做機(jī)器最小數(shù)?machine epsilon. 標(biāo)準(zhǔn)的雙精度數(shù)的最小數(shù)為?2^?53.

var epsEqu = function () { // IIFE, keeps EPSILON private
    var EPSILON = Math.pow(2, -53);
    return function epsEqu(x, y) {
        return Math.abs(x - y) < EPSILON;
    };
}();

這個方法可以修正你的比較結(jié)果

> 0.1 + 0.2 === 0.3
false
> epsEqu(0.1+0.2, 0.3)
true

“x 是最大的整數(shù)”這句話是什么意思呢？它的意思是說，任意整數(shù)n在?0 ≤?n?≤?x?范圍內(nèi)都是可以被表示的。也就是說如果大于x，將無法表示。比如253?。任何比它小的數(shù)字都可以被表示。

> Math.pow(2, 53)
9007199254740992
> Math.pow(2, 53) - 1
9007199254740991
> Math.pow(2, 53) - 2
9007199254740990
但比它大的就不行
> Math.pow(2, 53) + 1
9007199254740992

關(guān)于253?這個上限，有一些很令人驚奇的表現(xiàn)。我們將用一些問題來解釋這些現(xiàn)象。你要記住的是，這個上限是分?jǐn)?shù)f的上限，指數(shù)e部分其實(shí)還有空間。

為什么是53位呢？你有53位來表示數(shù)的大小，除去標(biāo)志位。但是分?jǐn)?shù)f卻是由52位組成的，這是為什么呢。從前面的文章可以看出，指數(shù)e從第53位開始，它會移動分?jǐn)?shù)f，所以這個53位的數(shù)字（除了0）可以被表示出來，并且有一個特別的數(shù)字去表示0（并且分?jǐn)?shù)f也是0）.

為什么最大的數(shù)不是2⁵³?1??通常來說，x位就說明最小數(shù)是0，最大值是2^x?1.?比如8位數(shù)字最大是255。而在JavaScript里，最大的分?jǐn)?shù)f確實(shí)是2⁵³?1，但2⁵³?也可以被表示出來，因?yàn)橛兄笖?shù)e的幫助。它只要讓分?jǐn)?shù)f等于0，指數(shù)e等于53即可。

%1.f?× 2^p?= %1.0 × 253?= 253

為什么大于2⁵³就不能表示了呢？例如:

> Math.pow(2, 53)
9007199254740992
> Math.pow(2, 53) + 1  // not OK
9007199254740992
> Math.pow(2, 53) + 2  // OK
9007199254740994
> Math.pow(2, 53) * 2  // OK
18014398509481984

2⁵³×2?可以表示正確，因?yàn)橹笖?shù)e還可以用，乘以2僅僅需要指數(shù)e加一，而不影響分?jǐn)?shù)f。所以乘以2的冪不是問題，只要分?jǐn)?shù)f沒有超過上限，那為什么2加2⁵³也可以表示正確，1卻不可以呢，我們擴(kuò)大一下之前的，加上53 和54位來看看。

看p=53的那一行，它應(yīng)該是一個JavaScript數(shù)字，53位設(shè)置成了1，但是因?yàn)樗姆謹(jǐn)?shù)f只有52位，而0位必須位0，而只有2⁵³?≤?x?< 254中的偶數(shù)數(shù)字x可以被表示。在p=54時(shí)，這個空間增加到乘以4，在?2⁵⁴?≤?x?< 255: 中。

> Math.pow(2, 54)
18014398509481984
> Math.pow(2, 54) + 1
18014398509481984
> Math.pow(2, 54) + 2
18014398509481984
> Math.pow(2, 54) + 3
18014398509481988
> Math.pow(2, 54) + 4
18014398509481988

IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)描述了5中例外?， 當(dāng)出現(xiàn)這些例外，就無法算出準(zhǔn)確的數(shù)字。

1. 無效 : 進(jìn)行一個無效操作。例如，給一個負(fù)數(shù)開平方，返回NaN

> Math.sqrt(-1)
NaN

2. 除以0 : 返回正或者負(fù)的infinity(無窮大)

> 3 / 0
Infinity
> -5 / 0
-Infinity

3. 溢出(overflow) : 結(jié)果太大，無法表示。這時(shí)是指數(shù)已經(jīng)太大，?(p?≥ 1024).根據(jù)標(biāo)志位，正或者負(fù)溢出，返回正或者負(fù)的infinity（無窮大）。

> Math.pow(2, 2048)
Infinity
> -Math.pow(2, 2048)
-Infinity

4. 潛流（underflow): 結(jié)果太接近于0，這時(shí)是指數(shù)已經(jīng)太小(p?≤ ?1023).?返回一個非規(guī)范化的數(shù)字，或者0.

> Math.pow(2, -2048)
0

5. 不精確（Inexact）: 一個操作返回不精確的結(jié)果 - 有太多有意義的數(shù)字需要分?jǐn)?shù)f去存，那就返回一個四舍五入的結(jié)果

> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
    
> 9007199254740992 + 1
9007199254740992

上面的第三點(diǎn)和第四點(diǎn)是關(guān)于指數(shù)的，第五點(diǎn)是關(guān)于分?jǐn)?shù)f的，第三點(diǎn)和第五點(diǎn)的差別非常小，第五點(diǎn)的第二個例子，我們已經(jīng)接近了分?jǐn)?shù)f的最大值（這也可以算是一個溢出操作）。但根據(jù)?IEEE 754只有超過了指數(shù)的范圍才算溢出。

本篇文章中，我們觀察了JavaScript是怎樣把浮點(diǎn)數(shù)存進(jìn)64位中的。它之所以這么做是根據(jù)?IEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)中的雙精度。因?yàn)槲覀兂３Ｍ洠琂avaScript對于分母質(zhì)因分解不僅包含2的數(shù)字 是無法精確表示的。比如0.5（1/2），是可以精確表示的，但0.6（3/5）就不能。我們很容易忘記一個整數(shù)是由標(biāo)志位，分?jǐn)?shù)f，指數(shù)3部分組成，然后就會面對Math.pow(2, 53) + 2?可以計(jì)算正確，而Math.pow(2, 53) + 1會計(jì)算錯誤的問題。

? “IEEE Standard 754 Floating-Point” - Steve Hollasch.
? “Data Types and Scaling (Fixed-Point Blockset)” in the MATLAB documentation.
? “IEEE 754-2008” on Wikipedia

本文也同時(shí)是JavaScript 數(shù)字系列?, 它包含:

JavaScript中的數(shù)字顯示

JavaScript中的NaN 和 Infinity

JavaScript的兩種0